大学 - 数学
本文档包含 367 个公式。
代数
四元数
公式:
\[q = a + bi + cj + dk, \quad \text{其中 } i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\]变量说明:
- q: 四元数
- a: 实部（标量部分）
- b, c, d: 虚部（向量部分）的系数
- i, j, k: 四元数的三个虚数单位
备注: 四元数是复数的推广，由哈密顿（Hamilton）提出。四元数乘法满足：ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j。四元数在三维旋转、计算机图形学、机器人学等领域有重要应用
推导: 四元数由哈密顿在1843年发现，是第一个非交换的除环（division ring）例子
标签: 常用公式
复变函数
棣莫弗公式
公式:
\[[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\]变量说明:
- r: 模长
- θ: 幅角 (单位: rad)
- n: 幂次
备注: 复数乘幂公式，用指数形式表示为 (re^(iθ))ⁿ = rⁿe^(inθ)
推导: 欧拉公式和指数运算
标签: 常用公式, 必背公式
复数指数形式
公式:
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\]变量说明:
- z: 复数
- r: 模长
- θ: 幅角 (单位: rad)
备注: 复数的极坐标形式（三角形式）和指数形式
推导: 欧拉公式
标签: 常用公式, 必背公式
欧拉公式
公式:
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]变量说明:
- θ: 角度（弧度） (单位: rad)
- i: 虚数单位 (单位: i² = -1)
- e: 自然常数
备注: 连接指数函数和三角函数的桥梁，复数的指数形式
推导: 幂级数展开
标签: 常用公式, 必背公式
欧拉公式
公式:
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]变量说明:
- θ: 角度（弧度） (单位: rad)
- i: 虚数单位 (单位: i² = -1)
- e: 自然常数
备注: 连接指数函数和三角函数的桥梁，复数的指数形式
推导: 幂级数展开
标签: 常用公式, 必背公式
复数指数形式
公式:
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\]变量说明:
- z: 复数
- r: 模长
- θ: 幅角 (单位: rad)
备注: 复数的极坐标形式（三角形式）和指数形式
推导: 欧拉公式
标签: 常用公式, 必背公式
棣莫弗公式
公式:
\[[r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\]变量说明:
- r: 模长
- θ: 幅角 (单位: rad)
- n: 幂次
备注: 复数乘幂公式，用指数形式表示为 (re^(iθ))ⁿ = rⁿe^(inθ)
推导: 欧拉公式和指数运算
标签: 常用公式, 必背公式
复数开方公式
公式:
\[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left[\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right], \quad k = 0,1,\ldots,n-1\]变量说明:
- z: 复数
- r: 模长
- θ: 幅角 (单位: rad)
- n: 开方次数
- k: 整数
备注: 复数的n次方根有n个不同的值
推导: 棣莫弗公式
标签: 常用公式
拓扑学
欧拉示数性公式
公式:
\[V - E + F = 2\]变量说明:
- V: 顶点数
- E: 边数
- F: 面数
适用条件: 适用于凸多面体
备注: 欧拉示性数公式，对于凸多面体（如立方体、四面体等），顶点数减去边数加上面数等于2。对于一般多面体，公式为 V - E + F = 2 - 2g，其中g为亏格（genus）
推导: 拓扑学中的基本定理，可以通过对多面体进行三角剖分和归纳法证明
标签: 常用公式, 必背公式
数学分析-可微性
可微性定义
公式:
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)\]变量说明:
- f(x): 函数
- x₀: 点
- f’(x₀): 导数
适用条件: f(x)在x₀可导
备注: 可微函数的线性近似
推导: 可微性定义
标签: 常用公式, 必背公式
可微性定义
公式:
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)\]变量说明:
- f(x): 函数
- x₀: 点
- f’(x₀): 导数
适用条件: f(x)在x₀可导
备注: 可微函数的线性近似
推导: 可微性定义
标签: 常用公式, 必背公式
数学分析-微分中值定理
拉格朗日中值定理
公式:
\[\text{若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，则存在} \xi \in (a,b), \text{使得} \quad f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]变量说明:
- f(x): 函数
- a, b: 区间端点
- ξ: 中值点
适用条件: f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导
备注: 连接函数值和导数值的重要定理
推导: 罗尔定理
标签: 常用公式, 必背公式
拉格朗日中值定理
公式:
\[\text{若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，则存在} \xi \in (a,b), \text{使得} \quad f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]变量说明:
- f(x): 函数
- a, b: 区间端点
- ξ: 中值点
适用条件: f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导
备注: 连接函数值和导数值的重要定理
推导: 罗尔定理
标签: 常用公式, 必背公式
柯西中值定理
公式:
\[\text{若f(x),g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g'(x)≠0，则存在} \xi \in (a,b), \text{使得} \quad \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\]变量说明:
- f(x), g(x): 函数
- a, b: 区间端点
- ξ: 中值点
适用条件: f(x),g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，g’(x)≠0
备注: 拉格朗日中值定理的推广
推导: 拉格朗日中值定理
标签: 常用公式
数学分析-极限
洛必达法则
公式:
\[\text{若} \lim \frac{f(x)}{g(x)} \text{为} 0/0 \text{或} \infty/\infty, \text{且} \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{存在，则} \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\]变量说明:
- f(x), g(x): 函数
- f’(x), g’(x): 导数
适用条件: 0/0或∞/∞型未定式，导数极限存在
备注: 用于计算未定式极限
推导: 柯西中值定理
标签: 常用公式, 必背公式
洛必达法则
公式:
\[\text{若} \lim \frac{f(x)}{g(x)} \text{为} 0/0 \text{或} \infty/\infty, \text{且} \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{存在，则} \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\]变量说明:
- f(x), g(x): 函数
- f’(x), g’(x): 导数
适用条件: 0/0或∞/∞型未定式，导数极限存在
备注: 用于计算未定式极限
推导: 柯西中值定理
标签: 常用公式, 必背公式
数学分析-连续性
函数连续性定义
公式:
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]变量说明:
- f(x): 函数
- x₀: 点
适用条件: f(x)在x₀的邻域内有定义
备注: 函数在某点连续的定义
推导: 连续性定义
标签: 常用公式, 必背公式
函数连续性定义
公式:
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]变量说明:
- f(x): 函数
- x₀: 点
适用条件: f(x)在x₀的邻域内有定义
备注: 函数在某点连续的定义
推导: 连续性定义
标签: 常用公式, 必背公式
一致连续性
公式:
\[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{使得当} |x_1 - x_2| < \delta \text{时}, |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon \text{对所有} x_1,x_2 \in I \text{成立}\]变量说明:
- f(x): 函数
- I: 区间
- ε, δ: 正数
适用条件: f(x)在区间I上有定义
备注: δ的选取与x无关，只与ε有关
推导: 一致连续性定义
标签: 常用公式
数论-代数数论
狄利克雷单位定理
公式:
\[O_K^* \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1}\]变量说明:
- Oₖ*: 单位群
- μₖ: 单位根群（有限循环群）
- r₁: 实嵌入数
- r₂: 复嵌入对数
适用条件: K为代数数域
备注: 描述了整数环中单位的结构，是代数数论的基本定理之一
推导: 几何数论方法
标签: 常用公式, 必背公式
理想分解唯一性
公式:
\[\text{在}O_K\text{中，每个非零理想}I\text{可以唯一分解为} \quad I = \mathfrak{p}_1^{e_1}\mathfrak{p}_2^{e_2}\cdots\mathfrak{p}_k^{e_k}\]变量说明:
- I: 理想
- 𝔭ᵢ: 素理想
- eᵢ: 指数
适用条件: I为非零理想
备注: 这是代数数论的核心定理，解决了普通整数分解唯一性在代数数域中的推广问题
推导: Dedekind整环理论
标签: 常用公式, 必背公式
代数整数
公式:
\[\text{代数整数}\alpha\text{满足} \quad \alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots + c_0 = 0, \quad c_i \in \mathbb{Z}\]变量说明:
- α: 代数整数
- cᵢ: 整数系数
- n: 次数
适用条件: α是代数数
备注: 代数整数是整数在代数数域中的推广，构成数域的整数环
推导: 代数数论基础定义
标签: 常用公式
数域的整数环
公式:
\[O_K = \{\alpha \in K : \alpha\text{是代数整数}\}\]变量说明:
- K: 代数数域
- Oₖ: K的整数环
适用条件: K为代数数域
备注: 整数环是代数数论研究的基本对象，是Dedekind整环
推导: 代数数论基础
标签: 常用公式
理想分解唯一性
公式:
\[\text{在}O_K\text{中，每个非零理想}I\text{可以唯一分解为} \quad I = \mathfrak{p}_1^{e_1}\mathfrak{p}_2^{e_2}\cdots\mathfrak{p}_k^{e_k}\]变量说明:
- I: 理想
- 𝔭ᵢ: 素理想
- eᵢ: 指数
适用条件: I为非零理想
备注: 这是代数数论的核心定理，解决了普通整数分解唯一性在代数数域中的推广问题
推导: Dedekind整环理论
标签: 常用公式, 必背公式
理想范数
公式:
\[N(\mathfrak{a}) = |O_K/\mathfrak{a}|\]变量说明:
- 𝔞: 理想
- N(𝔞): 理想范数
- Oₖ/𝔞: 商环
适用条件: 𝔞为非零理想
备注: 理想范数是有限正整数，满足乘法性：N(𝔞𝔟) = N(𝔞)N(𝔟)
推导: 环论
标签: 常用公式
类数公式
公式:
\[h_K = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K}{w_K\sqrt{|d_K|}} \cdot L(1, \chi)\]变量说明:
- hₖ: 类数
- Rₖ: 调节子
- dₖ: 判别式
- r₁, r₂: 实嵌入和复嵌入的对数
- wₖ: 单位根的个数
适用条件: K为代数数域
备注: 类数衡量整数环中理想类群的有限性，是数论中的重要不变量
推导: 解析数论和类域论
标签: 常用公式
狄利克雷单位定理
公式:
\[O_K^* \cong \mu_K \times \mathbb{Z}^{r_1 + r_2 - 1}\]变量说明:
- Oₖ*: 单位群
- μₖ: 单位根群（有限循环群）
- r₁: 实嵌入数
- r₂: 复嵌入对数
适用条件: K为代数数域
备注: 描述了整数环中单位的结构，是代数数论的基本定理之一
推导: 几何数论方法
标签: 常用公式, 必背公式
分圆域
公式:
\[\mathbb{Q}(\zeta_n), \quad [\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \varphi(n)\]变量说明:
- ζₙ: n次单位原根
- Q(ζₙ): 分圆域
- φ(n): 欧拉函数
适用条件: n为正整数
备注: 分圆域在代数数论中具有特殊地位，其整数环有很好的性质
推导: 域论
标签: 常用公式
二次域的整数环
公式:
\[O_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})} = \begin{cases} \mathbb{Z}[\sqrt{d}] & d \equiv 2,3 \pmod{4} \\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right] & d \equiv 1 \pmod{4} \end{cases}\]变量说明:
- d: 无平方因子的整数
- Q(√d): 二次域
- O: 整数环
适用条件: d无平方因子
备注: 二次域是最简单的代数数域之一，其整数环结构明确
推导: 代数数论基础
标签: 常用公式
素理想在扩张中的分解
公式:
\[pO_L = (\mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_k)^e, \quad \sum_{i=1}^{k} e_i f_i = [L:K]\]变量说明:
- p: K的素理想
- Pᵢ: L中位于p上的素理想
- e: 分歧指数
- fᵢ: 剩余类域次数
适用条件: L/K为有限扩张
备注: 描述了素理想在域扩张中的分解行为，是代数数论的核心内容
推导: Dedekind分解定理
标签: 常用公式
判别式
公式:
\[d_K = \det(\text{Tr}(\alpha_i\alpha_j))\]变量说明:
- dₖ: K的判别式
- αᵢ: 整数环的一组整基
- Tr: 迹映射
适用条件: K为代数数域
备注: 判别式是整数环的不变量，用于研究理想类和单位
推导: 线性代数和域论
标签: 常用公式
数论-初等数论
二次互反律
公式:
\[\text{若}p\text{和}q\text{是不同的奇素数，则} \quad \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\]变量说明:
- p, q: 不同的奇素数
- (p/q), (q/p): 勒让德符号
适用条件: p和q是不同的奇素数
备注: 数论中的核心定理，由高斯首次完整证明，被称为”数论之母”
推导: 高斯引理或其他方法
标签: 常用公式, 必背公式
中国剩余定理
公式:
\[\text{若}m_1, m_2, \ldots, m_k\text{两两互质，则} \quad x \equiv a_i \pmod{m_i} \quad \text{有唯一解模}M = \prod_{i=1}^{k} m_i\]变量说明:
- mᵢ: 两两互质的模数
- aᵢ: 余数
- x: 同余方程组的解
适用条件: m₁, m₂, …, mₖ两两互质
备注: 数论中的经典定理，在密码学和计算机科学中有广泛应用
推导: 扩展欧几里得算法构造解
标签: 常用公式, 必背公式
欧拉函数公式
公式:
\[\text{若}n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\text{，则} \quad \varphi(n) = n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\]变量说明:
- n: 正整数
- pᵢ: n的素因子
- αᵢ: 素因子的指数
适用条件: n为正整数
备注: 计算欧拉函数的高效公式，基于容斥原理
推导: 容斥原理
标签: 常用公式, 必背公式
欧拉定理
公式:
\[\text{若}\gcd(a, n) = 1\text{，则} \quad a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\]变量说明:
- a: 与n互质的整数
- n: 正整数
- φ(n): 欧拉函数，小于n且与n互质的正整数个数
适用条件: gcd(a, n) = 1
备注: 费马小定理的推广，当n为素数时退化为费马小定理
推导: 群论（乘法群的阶）
标签: 常用公式, 必背公式
费马小定理
公式:
\[\text{若}p\text{是素数，且}\gcd(a, p) = 1\text{，则} \quad a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\]变量说明:
- p: 素数
- a: 与p互质的整数
适用条件: p为素数，gcd(a, p) = 1
备注: 数论中的基本定理，在密码学（如RSA算法）中有重要应用
推导: 群论或组合证明
标签: 常用公式, 必背公式
扩展欧几里得算法
公式:
\[\gcd(a, b) = d \Rightarrow \exists x, y \in \mathbb{Z}: ax + by = d\]变量说明:
- a, b: 正整数
- x, y: 贝祖等式系数
- d: 最大公约数
适用条件: a, b 为正整数
备注: 用于求解线性丢番图方程，在密码学中应用广泛
推导: 扩展欧几里得算法
标签: 常用公式, 必背公式
欧几里得算法（最大公约数）
公式:
\[\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b), \quad \text{直到余数为0}\]变量说明:
- a, b: 正整数
- gcd(a, b): a和b的最大公约数
适用条件: a, b 为正整数
备注: 经典的递归算法，时间复杂度为O(log min(a,b))
推导: 基于整除性质
标签: 常用公式, 必背公式
欧几里得算法（最大公约数）
公式:
\[\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b), \quad \text{直到余数为0}\]变量说明:
- a, b: 正整数
- gcd(a, b): a和b的最大公约数
适用条件: a, b 为正整数
备注: 经典的递归算法，时间复杂度为O(log min(a,b))
推导: 基于整除性质
标签: 常用公式, 必背公式
扩展欧几里得算法
公式:
\[\gcd(a, b) = d \Rightarrow \exists x, y \in \mathbb{Z}: ax + by = d\]变量说明:
- a, b: 正整数
- x, y: 贝祖等式系数
- d: 最大公约数
适用条件: a, b 为正整数
备注: 用于求解线性丢番图方程，在密码学中应用广泛
推导: 扩展欧几里得算法
标签: 常用公式, 必背公式
费马小定理
公式:
\[\text{若}p\text{是素数，且}\gcd(a, p) = 1\text{，则} \quad a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\]变量说明:
- p: 素数
- a: 与p互质的整数
适用条件: p为素数，gcd(a, p) = 1
备注: 数论中的基本定理，在密码学（如RSA算法）中有重要应用
推导: 群论或组合证明
标签: 常用公式, 必背公式
欧拉定理
公式:
\[\text{若}\gcd(a, n) = 1\text{，则} \quad a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\]变量说明:
- a: 与n互质的整数
- n: 正整数
- φ(n): 欧拉函数，小于n且与n互质的正整数个数
适用条件: gcd(a, n) = 1
备注: 费马小定理的推广，当n为素数时退化为费马小定理
推导: 群论（乘法群的阶）
标签: 常用公式, 必背公式
欧拉函数公式
公式:
\[\text{若}n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\text{，则} \quad \varphi(n) = n\prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\]变量说明:
- n: 正整数
- pᵢ: n的素因子
- αᵢ: 素因子的指数
适用条件: n为正整数
备注: 计算欧拉函数的高效公式，基于容斥原理
推导: 容斥原理
标签: 常用公式, 必背公式
中国剩余定理
公式:
\[\text{若}m_1, m_2, \ldots, m_k\text{两两互质，则} \quad x \equiv a_i \pmod{m_i} \quad \text{有唯一解模}M = \prod_{i=1}^{k} m_i\]变量说明:
- mᵢ: 两两互质的模数
- aᵢ: 余数
- x: 同余方程组的解
适用条件: m₁, m₂, …, mₖ两两互质
备注: 数论中的经典定理，在密码学和计算机科学中有广泛应用
推导: 扩展欧几里得算法构造解
标签: 常用公式, 必背公式
威尔逊定理
公式:
\[p\text{是素数} \Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\]变量说明:
- p: 正整数
适用条件: p > 1
备注: 判断素数的充要条件，但计算阶乘效率低，主要用于理论
推导: 群论（模p乘法群的逆元配对）
标签: 常用公式
二次剩余（欧拉判别准则）
公式:
\[\text{设}p\text{为奇素数，}a\text{与}p\text{互质，则}a\text{是模}p\text{的二次剩余} \Leftrightarrow a^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod{p}\]变量说明:
- a: 与p互质的整数
- p: 奇素数
适用条件: p为奇素数，gcd(a, p) = 1
备注: 用于判断是否存在x使得x² ≡ a (mod p)
推导: 费马小定理和群论
标签: 常用公式
勒让德符号
公式:
\[\left(\frac{a}{p}\right) = a^{(p-1)/2} \bmod p\]变量说明:
- a: 整数
- p: 奇素数
- (a/p): 勒让德符号
适用条件: p为奇素数
备注: 勒让德符号是二次剩余的简洁表示，满足乘法性质
推导: 欧拉判别准则
标签: 常用公式
二次互反律
公式:
\[\text{若}p\text{和}q\text{是不同的奇素数，则} \quad \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\]变量说明:
- p, q: 不同的奇素数
- (p/q), (q/p): 勒让德符号
适用条件: p和q是不同的奇素数
备注: 数论中的核心定理，由高斯首次完整证明，被称为”数论之母”
推导: 高斯引理或其他方法
标签: 常用公式, 必背公式
概率论-分布
标准正态分布
公式:
\[\text{若} \quad X \sim N(\mu,\sigma^2), \quad \text{则} \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\]变量说明:
- X: 随机变量
- μ: 均值
- σ: 标准差
- Z: 标准化随机变量
适用条件: σ > 0
备注: 将一般正态分布标准化为标准正态分布
推导: 线性变换
标签: 常用公式, 必背公式
正态分布
公式:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad E(X) = \mu, \quad D(X) = \sigma^2\]变量说明:
- μ: 均值
- σ: 标准差
- E(X): 数学期望
- D(X): 方差
适用条件: σ > 0
备注: 最重要的连续型概率分布，许多随机现象都服从或近似服从正态分布
推导: 概率密度函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
泊松分布
公式:
\[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad E(X) = \lambda, \quad D(X) = \lambda\]变量说明:
- λ: 参数（平均次数）
- k: 事件发生次数
- E(X): 数学期望
- D(X): 方差
适用条件: λ > 0, k = 0,1,2,…
备注: 描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布
推导: 二项分布的极限形式
标签: 常用公式, 必背公式
二项分布
公式:
\[P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, \quad E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p)\]变量说明:
- n: 试验次数
- k: 成功次数
- p: 成功概率
- E(X): 数学期望
- D(X): 方差
适用条件: 0 ≤ p ≤ 1, k = 0,1,…,n
备注: n次独立重复试验中成功k次的概率
推导: 概率定义
标签: 常用公式, 必背公式
二项分布
公式:
\[P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, \quad E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p)\]变量说明:
- n: 试验次数
- k: 成功次数
- p: 成功概率
- E(X): 数学期望
- D(X): 方差
适用条件: 0 ≤ p ≤ 1, k = 0,1,…,n
备注: n次独立重复试验中成功k次的概率
推导: 概率定义
标签: 常用公式, 必背公式
泊松分布
公式:
\[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad E(X) = \lambda, \quad D(X) = \lambda\]变量说明:
- λ: 参数（平均次数）
- k: 事件发生次数
- E(X): 数学期望
- D(X): 方差
适用条件: λ > 0, k = 0,1,2,…
备注: 描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布
推导: 二项分布的极限形式
标签: 常用公式, 必背公式
正态分布
公式:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad E(X) = \mu, \quad D(X) = \sigma^2\]变量说明:
- μ: 均值
- σ: 标准差
- E(X): 数学期望
- D(X): 方差
适用条件: σ > 0
备注: 最重要的连续型概率分布，许多随机现象都服从或近似服从正态分布
推导: 概率密度函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
标准正态分布
公式:
\[\text{若} \quad X \sim N(\mu,\sigma^2), \quad \text{则} \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\]变量说明:
- X: 随机变量
- μ: 均值
- σ: 标准差
- Z: 标准化随机变量
适用条件: σ > 0
备注: 将一般正态分布标准化为标准正态分布
推导: 线性变换
标签: 常用公式, 必背公式
概率论-概率
概率定义
公式:
\[P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\]变量说明:
- P(A): 事件A的概率
- n(A): 事件A的样本点数
- n(S): 样本空间的总样本点数
适用条件: 等可能事件
备注: 古典概型的概率定义
推导: 概率定义
标签: 常用公式, 必背公式
条件概率
公式:
\[P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\]变量说明:
-
**P(A B)**: 在B发生的条件下A发生的概率 - P(AB): A和B同时发生的概率
- P(B): B发生的概率
适用条件: P(B) > 0
备注: 条件概率的定义
推导: 条件概率定义
标签: 常用公式, 必背公式
乘法公式
公式:
\[P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\]变量说明:
- P(AB): A和B同时发生的概率
-
**P(A B), P(B A)**: 条件概率
备注: 由条件概率公式推导
推导: 由条件概率公式推导
标签: 常用公式, 必背公式
全概率公式
公式:
\[P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)\]变量说明:
- Bᵢ: 完备事件组
- A: 事件
适用条件: B₁, B₂, …, Bₙ构成完备事件组
备注: 通过完备事件组计算事件A的概率
推导: 由概率的加法公式和乘法公式推导
标签: 常用公式, 必背公式
贝叶斯公式
公式:
\[P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^n P(A|B_j)P(B_j)}\]变量说明:
- Bᵢ: 完备事件组
- A: 事件
适用条件: B₁, B₂, …, Bₙ构成完备事件组
备注: 由结果反推原因的概率
推导: 由条件概率和全概率公式推导
标签: 常用公式, 必背公式
概率论-统计
大数定律
公式:
\[\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X} - \mu| < \varepsilon) = 1\]变量说明:
- X̄: 样本均值
- μ: 总体均值
- ε: 任意正数
- n: 样本容量
适用条件: n → ∞
备注: 样本均值依概率收敛于总体均值
推导: 概率论极限理论
标签: 常用公式, 必背公式
中心极限定理
公式:
\[\text{若} \quad X_1,X_2,\ldots,X_n \text{独立同分布}, \quad E(X_i) = \mu, D(X_i) = \sigma^2, \quad \text{则} \quad \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \text{近似服从} N(0,1)\]变量说明:
- Xᵢ: 随机变量
- X̄: 样本均值
- μ: 总体均值
- σ: 总体标准差
- n: 样本容量
适用条件: n充分大
备注: 无论总体分布如何，样本均值的分布都近似正态分布
推导: 概率论极限理论
标签: 常用公式, 必背公式
中心极限定理
公式:
\[\text{若} \quad X_1,X_2,\ldots,X_n \text{独立同分布}, \quad E(X_i) = \mu, D(X_i) = \sigma^2, \quad \text{则} \quad \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \text{近似服从} N(0,1)\]变量说明:
- Xᵢ: 随机变量
- X̄: 样本均值
- μ: 总体均值
- σ: 总体标准差
- n: 样本容量
适用条件: n充分大
备注: 无论总体分布如何，样本均值的分布都近似正态分布
推导: 概率论极限理论
标签: 常用公式, 必背公式
大数定律
公式:
\[\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X} - \mu| < \varepsilon) = 1\]变量说明:
- X̄: 样本均值
- μ: 总体均值
- ε: 任意正数
- n: 样本容量
适用条件: n → ∞
备注: 样本均值依概率收敛于总体均值
推导: 概率论极限理论
标签: 常用公式, 必背公式
概率论-随机变量
数学期望
公式:
\[E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i) \quad \text{或} \quad E(X) = \int xf(x)dx\]变量说明:
- E(X): 数学期望
- xᵢ: 随机变量取值
- P(X=xᵢ): 概率
- f(x): 概率密度函数
备注: 随机变量的平均值
推导: 期望定义
标签: 常用公式, 必背公式
方差
公式:
\[D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = E[(X - E(X))^2]\]变量说明:
- D(X): 方差
- E(X): 数学期望
备注: 方差衡量随机变量与其期望的偏离程度
推导: 方差定义
标签: 常用公式, 必背公式
标准差
公式:
\[\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\]变量说明:
- σ(X): 标准差
- D(X): 方差
备注: 标准差是方差的平方根
推导: 由方差定义
标签: 常用公式, 必背公式
泛函分析-Sobolev空间
弱导数定义
公式:
\[\text{对于} \quad u \in L^p(\Omega), \quad \text{若存在} \quad v \in L^p(\Omega) \quad \text{使得} \quad \int_{\Omega} u \cdot D^{\alpha}\varphi dx = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} v \cdot \varphi dx \quad \text{对所有} \quad \varphi \in C_0^{\infty}(\Omega), \quad \text{则称} \quad v = D^{\alpha}u\]变量说明:
- u: 函数
- v = D^αu: 弱导数
- α: 多重指标
- φ: 测试函数（紧支光滑函数）
备注: 弱导数是对经典导数的推广，适用于不可微的函数
推导: 分布理论
标签: 常用公式, 必背公式
Poincaré不等式
公式:
\[\text{对于} \quad u \in H_0^1(\Omega), \quad \text{有} \quad \|u\|_{L^2} \leq C \|\nabla u\|_{L^2}\]变量说明:
- u: 函数
- H₀¹(Ω): 零边界条件的Sobolev空间
- C: Poincaré常数
- ∇u: 梯度
适用条件: Ω有界，u在边界上为零
备注: 在零边界条件下，L²范数可以用梯度的L²范数控制
推导: 变分法
标签: 常用公式, 必背公式
Sobolev嵌入定理（基本形式）
公式:
\[\text{若} \quad kp < n, \quad \text{则} \quad W^{k,p}(\mathbb{R}^n) \subset L^{p^*}(\mathbb{R}^n), \quad \text{其中} \quad p^* = \frac{np}{n-kp}\]变量说明:
- k: 阶数
- p: 指数
- n: 空间维数
- p*: 临界指数
适用条件: kp < n, Ω有界且边界充分光滑时也成立
备注: Sobolev空间可以连续嵌入到Lebesgue空间中，是偏微分方程理论的基础
推导: Sobolev嵌入定理
标签: 常用公式, 必背公式
H^k空间（Hilbert-Sobolev空间）
公式:
\[H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)\]变量说明:
- H^k(Ω): Hilbert-Sobolev空间
- W^(k,2)(Ω): Sobolev空间（p=2）
- k: 阶数
| 备注: 当p=2时，Sobolev空间是Hilbert空间，具有内积：<u,v>_(H^k) = Σ( | α | ≤k) ∫_Ω D^αu · D^αv dx |
推导: Sobolev空间定义
标签: 常用公式, 必背公式
Sobolev范数
公式:
\[\|u\|_{W^{k,p}} = \left(\sum_{|\alpha|\leq k} \int_{\Omega} |D^{\alpha}u|^p dx\right)^{1/p}\]变量说明:
-
** u _(W^(k,p))**: Sobolev范数 - k: 阶数
- p: 指数
- D^αu: 弱导数
- α: 多重指标
适用条件: 1 ≤ p < ∞
| 备注: 当p = ∞时，范数定义为 | u | _(W^(k,∞)) = max( | α | ≤k) | D^αu | _(L^∞) |
推导: Sobolev空间定义
标签: 常用公式, 必背公式
Sobolev空间定义
公式:
\[W^{k,p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega), |\alpha| \leq k\}\]变量说明:
- W^(k,p)(Ω): Sobolev空间
- k: 阶数
- p: 指数，1 ≤ p ≤ ∞
- Ω: 开区域
- α: 多重指标
- D^αu: 弱导数
- L^p(Ω): Lebesgue空间
适用条件: 1 ≤ p ≤ ∞, k ∈ ℕ
备注: Sobolev空间是所有直到k阶的弱导数都属于L^p空间的函数组成的Banach空间
推导: 泛函分析理论
标签: 常用公式, 必背公式
Sobolev空间定义
公式:
\[W^{k,p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega), |\alpha| \leq k\}\]变量说明:
- W^(k,p)(Ω): Sobolev空间
- k: 阶数
- p: 指数，1 ≤ p ≤ ∞
- Ω: 开区域
- α: 多重指标
- D^αu: 弱导数
- L^p(Ω): Lebesgue空间
适用条件: 1 ≤ p ≤ ∞, k ∈ ℕ
备注: Sobolev空间是所有直到k阶的弱导数都属于L^p空间的函数组成的Banach空间
推导: 泛函分析理论
标签: 常用公式, 必背公式
Sobolev范数
公式:
\[\|u\|_{W^{k,p}} = \left(\sum_{|\alpha|\leq k} \int_{\Omega} |D^{\alpha}u|^p dx\right)^{1/p}\]变量说明:
-
** u _(W^(k,p))**: Sobolev范数 - k: 阶数
- p: 指数
- D^αu: 弱导数
- α: 多重指标
适用条件: 1 ≤ p < ∞
| 备注: 当p = ∞时，范数定义为 | u | _(W^(k,∞)) = max( | α | ≤k) | D^αu | _(L^∞) |
推导: Sobolev空间定义
标签: 常用公式, 必背公式
H^k空间（Hilbert-Sobolev空间）
公式:
\[H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)\]变量说明:
- H^k(Ω): Hilbert-Sobolev空间
- W^(k,2)(Ω): Sobolev空间（p=2）
- k: 阶数
| 备注: 当p=2时，Sobolev空间是Hilbert空间，具有内积：<u,v>_(H^k) = Σ( | α | ≤k) ∫_Ω D^αu · D^αv dx |
推导: Sobolev空间定义
标签: 常用公式, 必背公式
Sobolev嵌入定理（基本形式）
公式:
\[\text{若} \quad kp < n, \quad \text{则} \quad W^{k,p}(\mathbb{R}^n) \subset L^{p^*}(\mathbb{R}^n), \quad \text{其中} \quad p^* = \frac{np}{n-kp}\]变量说明:
- k: 阶数
- p: 指数
- n: 空间维数
- p*: 临界指数
适用条件: kp < n, Ω有界且边界充分光滑时也成立
备注: Sobolev空间可以连续嵌入到Lebesgue空间中，是偏微分方程理论的基础
推导: Sobolev嵌入定理
标签: 常用公式, 必背公式
Sobolev嵌入定理（临界情况）
公式:
\[\text{若} \quad kp = n, \quad \text{则} \quad W^{k,p}(\mathbb{R}^n) \subset L^q(\mathbb{R}^n) \quad \text{对所有} \quad q \in [p,\infty) \text{成立}\]变量说明:
- k: 阶数
- p: 指数
- n: 空间维数
- q: Lebesgue空间指数
适用条件: kp = n
备注: 临界情况下的Sobolev嵌入
推导: Sobolev嵌入定理
标签: 常用公式
Morrey不等式
公式:
\[\text{若} \quad kp > n, \quad \text{则} \quad W^{k,p}(\mathbb{R}^n) \subset C^{0,\alpha}(\mathbb{R}^n), \quad \text{其中} \quad \alpha = k - n/p\]变量说明:
- k: 阶数
- p: 指数
- n: 空间维数
- α: Hölder指数
- C^0,α: Hölder连续函数空间
适用条件: kp > n
备注: 当kp > n时，Sobolev空间可以嵌入到连续函数空间中
推导: Morrey不等式
标签: 常用公式
Poincaré不等式
公式:
\[\text{对于} \quad u \in H_0^1(\Omega), \quad \text{有} \quad \|u\|_{L^2} \leq C \|\nabla u\|_{L^2}\]变量说明:
- u: 函数
- H₀¹(Ω): 零边界条件的Sobolev空间
- C: Poincaré常数
- ∇u: 梯度
适用条件: Ω有界，u在边界上为零
备注: 在零边界条件下，L²范数可以用梯度的L²范数控制
推导: 变分法
标签: 常用公式, 必背公式
弱导数定义
公式:
\[\text{对于} \quad u \in L^p(\Omega), \quad \text{若存在} \quad v \in L^p(\Omega) \quad \text{使得} \quad \int_{\Omega} u \cdot D^{\alpha}\varphi dx = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} v \cdot \varphi dx \quad \text{对所有} \quad \varphi \in C_0^{\infty}(\Omega), \quad \text{则称} \quad v = D^{\alpha}u\]变量说明:
- u: 函数
- v = D^αu: 弱导数
- α: 多重指标
- φ: 测试函数（紧支光滑函数）
备注: 弱导数是对经典导数的推广，适用于不可微的函数
推导: 分布理论
标签: 常用公式, 必背公式
Rellich-Kondrachov紧嵌入定理
公式:
\[\text{若} \quad kp < n, \Omega \text{有界且边界Lipschitz}, \quad \text{则} \quad W^{k,p}(\Omega) \text{紧嵌入到} L^q(\Omega), \quad \text{其中} \quad 1 \leq q < p^*\]变量说明:
- k: 阶数
- p: 指数
- n: 空间维数
- q: Lebesgue空间指数
- p*: 临界指数
适用条件: Ω有界，边界Lipschitz连续，kp < n
备注: 紧嵌入意味着有界序列存在收敛子列，在偏微分方程存在性理论中非常重要
推导: Rellich-Kondrachov定理
标签: 常用公式
分数阶Sobolev空间
公式:
\[W^{s,p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega) : [u]_{W^{s,p}} < \infty\}, \quad \text{其中} \quad [u]_{W^{s,p}}^p = \int_{\Omega}\int_{\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} dxdy\]变量说明:
- W^(s,p)(Ω): 分数阶Sobolev空间
- s: 分数阶数
- p: 指数
- [u]_(W^(s,p)): Gagliardo半范数
适用条件: 0 < s < 1
备注: 分数阶Sobolev空间允许非整数阶的导数，在分数阶偏微分方程中非常重要
推导: 分数阶微积分理论
标签: 常用公式
线性代数-向量
施密特正交化
公式:
\[\beta_1 = \alpha_1, \quad \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\cdot\beta_1, \quad \beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\cdot\beta_1 - \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\cdot\beta_2, \ldots\]变量说明:
- αᵢ: 原向量组
- βᵢ: 正交化后的向量组
- (·,·): 内积
适用条件: α₁, α₂, …, αₙ 线性无关
备注: 将线性无关向量组正交化
推导: 正交投影
标签: 常用公式, 必背公式
施密特正交化
公式:
\[\beta_1 = \alpha_1, \quad \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\cdot\beta_1, \quad \beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\cdot\beta_1 - \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\cdot\beta_2, \ldots\]变量说明:
- αᵢ: 原向量组
- βᵢ: 正交化后的向量组
- (·,·): 内积
适用条件: α₁, α₂, …, αₙ 线性无关
备注: 将线性无关向量组正交化
推导: 正交投影
标签: 常用公式, 必背公式
混合积
公式:
\[(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\]变量说明:
- a, b, c: 三个向量
- ×: 向量叉积
- ·: 向量点积
适用条件: a, b, c 为三维向量
备注: 混合积等于三个向量构成的平行六面体的有向体积。混合积的绝对值等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。当三个向量共面时，混合积为0
推导: 由向量叉积和点积的定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
线性代数-特征值
特征值与特征向量
公式:
\[Av = \lambda v, \quad \text{其中} \quad |A - \lambda I| = 0\]变量说明:
- A: 矩阵
- λ: 特征值
- v: 特征向量
- I: 单位矩阵
适用条件: A为方阵
| 备注: 特征值λ是特征方程 | A - λI | = 0的根，对应的非零向量v是特征向量 |
推导: 特征值定义
标签: 常用公式, 必背公式
特征值的性质
公式:
\[\sum \lambda_i = \text{tr}(A) \text{（迹）}, \quad \prod \lambda_i = |A| \text{（行列式）}\]变量说明:
- λᵢ: 特征值
- A: 矩阵
- tr(A): 矩阵的迹
适用条件: A为n阶方阵
备注: 特征值的和等于矩阵的迹，特征值的积等于矩阵的行列式
推导: 特征多项式
标签: 常用公式
线性代数-矩阵
矩阵的秩
公式:
\[r(A) = \text{矩阵A中非零子式的最高阶数}\]变量说明:
- A: 矩阵
- r(A): 矩阵的秩
备注: 矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的最大线性无关组的向量个数
推导: 线性代数理论
标签: 常用公式, 必背公式
矩阵加法
公式:
\[(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}\]变量说明:
- A, B: 矩阵
- i, j: 行列索引
适用条件: A和B同型（行数、列数相同）
备注: 对应元素相加
推导: 矩阵运算定义
标签: 常用公式, 必背公式
矩阵乘法
公式:
\[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}\]变量说明:
- A: m×n矩阵
- B: n×p矩阵
- k: 求和索引
适用条件: A的列数等于B的行数
备注: 矩阵乘法的定义，结果矩阵为m×p
推导: 矩阵运算定义
标签: 常用公式, 必背公式
矩阵转置
公式:
\[(A^T)_{ij} = A_{ji}\]变量说明:
- A: 矩阵
- Aᵀ: 转置矩阵
备注: 将矩阵的行列互换
推导: 转置定义
标签: 常用公式, 必背公式
矩阵的逆
公式:
\[AA^{-1} = A^{-1}A = I\]变量说明:
- A: 可逆矩阵
- A⁻¹: 逆矩阵
- I: 单位矩阵
| 适用条件: | A | ≠ 0（A可逆） |
备注: 只有方阵且行列式不为0的矩阵才有逆矩阵
推导: 逆矩阵定义
标签: 常用公式, 必背公式
矩阵的秩
公式:
\[r(A) = \text{矩阵A中非零子式的最高阶数}\]变量说明:
- A: 矩阵
- r(A): 矩阵的秩
备注: 矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的最大线性无关组的向量个数
推导: 线性代数理论
标签: 常用公式, 必背公式
相似矩阵
公式:
\[\text{若存在可逆矩阵P，使得} \quad B = P^{-1}AP, \quad \text{则A与B相似}\]变量说明:
- A, B: 矩阵
- P: 可逆矩阵
适用条件: P可逆
备注: 相似矩阵有相同的特征值、行列式和迹
推导: 相似变换定义
标签: 常用公式
线性代数-行列式
行列式定义（2阶）
公式:
\[|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\]变量说明:
- aᵢⱼ: 矩阵元素
适用条件: A为2×2矩阵
备注: 2阶行列式的计算公式
推导: 行列式定义
标签: 常用公式, 必背公式
行列式定义（3阶）
公式:
\[|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}\]变量说明:
- aᵢⱼ: 矩阵元素
适用条件: A为3×3矩阵
备注: 3阶行列式的计算公式（对角线法则）
推导: 行列式定义
标签: 常用公式, 必背公式
行列式按行（列）展开
公式:
\[|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}\]变量说明:
- Aᵢⱼ: 代数余子式
- aᵢⱼ: 矩阵元素
备注: 按第i行或第j列展开，Aᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ，Mᵢⱼ为余子式
推导: 拉普拉斯展开定理
标签: 常用公式, 必背公式
高等数学-三角函数
正弦函数的复指数表示
公式:
\[\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = -i \sinh (ix)\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
适用条件: x为实数或复数
备注: 正弦函数与复指数函数的关系
推导: 欧拉公式
标签: 常用公式
余弦函数的复指数表示
公式:
\[\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cosh (ix)\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
适用条件: x为实数或复数
备注: 余弦函数与复指数函数的关系
推导: 欧拉公式
标签: 常用公式
三角函数与双曲函数的复数关系
公式:
\[\sin (ix) = i \sinh x, \quad \cos (ix) = \cosh x\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
适用条件: x为实数
备注: 三角函数与双曲函数通过虚数单位的关系
推导: 双曲函数定义
标签: 常用公式
反正弦函数的对数表示
公式:
\[\sin^{-1}x = -i \log (ix + \sqrt{1-x^2})\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 反正弦函数的复数对数形式
推导: 从sin x的复指数表示推导
标签: 常用公式
反余弦函数的对数表示
公式:
\[\cos^{-1}x = -i \log (x + \sqrt{x^2 - 1})\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
| 适用条件: | x | ≥ 1 |
备注: 反余弦函数的复数对数形式
推导: 从cos x的复指数表示推导
标签: 常用公式
反正切函数的对数表示
公式:
\[\tan^{-1}x = \frac{i}{2} \log \frac{1-ix}{1+ix}\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
适用条件: x为实数
备注: 反正切函数的复数对数形式
推导: 从tan x的复指数表示推导
标签: 常用公式
高等数学-傅里叶分析
sgn(x)的傅里叶展开式
公式:
\[\text{sgn}(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin((2n-1)x)}{2n-1}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 符号函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
x的傅里叶展开式
公式:
\[x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin(nx)}{n}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 线性函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
π-x的傅里叶展开式
公式:
\[\pi - x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 < x < 2π
备注: 线性函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
|x|的傅里叶展开式
公式:
\[|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 绝对值函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
x²的傅里叶展开式
公式:
\[x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 二次函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
x³的傅里叶展开式
公式:
\[x^3 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(12-2n^2\pi^2)\sin(nx)}{n^3}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 三次函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
x sin x的傅里叶展开式
公式:
\[x\sin x = 1 - \frac{\cos(x)}{2} - 2\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2-1}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 乘积函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
x cos x的傅里叶展开式
公式:
\[x\cos x = -\frac{\sin(x)}{2} - 2\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n n\sin(nx)}{n^2-1}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 乘积函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
|sin x|的傅里叶展开式
公式:
\[|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 正弦绝对值函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
|cos x|的傅里叶展开式
公式:
\[|\cos x| = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos(2nx)}{4n^2-1}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 余弦绝对值函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
e^(ax)的傅里叶展开式
公式:
\[e^{ax} = \frac{2\sinh(a\pi)}{\pi}\left[\frac{1}{2a} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(a\cos(nx) - n\sin(nx))}{n^2+a^2}\right]\]变量说明:
- a: 参数
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 指数函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
sinh(ax)的傅里叶展开式
公式:
\[\sinh(ax) = \frac{2\sinh(a\pi)}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}n\sin(nx)}{n^2+a^2}\]变量说明:
- a: 参数
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 双曲正弦函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
cosh(ax)的傅里叶展开式
公式:
\[\cosh(ax) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\left[\frac{1}{a} + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n a\cos(nx)}{n^2+a^2}\right]\]变量说明:
- a: 参数
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 双曲余弦函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
高等数学-双曲函数
双曲正弦函数定义
公式:
\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{1}{\text{csch } x}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x为实数或复数
备注: 双曲正弦函数的定义及其与双曲余割函数的关系
推导: 双曲函数定义
标签: 常用公式
双曲余弦函数定义
公式:
\[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1}{\text{sech } x}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x为实数或复数
备注: 双曲余弦函数的定义及其与双曲正割函数的关系
推导: 双曲函数定义
标签: 常用公式
双曲正切函数定义
公式:
\[\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\coth x}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x为实数或复数
备注: 双曲正切函数的定义及其与双曲余切函数的关系
推导: 双曲函数定义
标签: 常用公式
反双曲正弦函数
公式:
\[\sinh^{-1}x = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x为实数
备注: 反双曲正弦函数的对数形式
推导: 从sinh x的定义推导
标签: 常用公式
反双曲余弦函数
公式:
\[\cosh^{-1}x = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x ≥ 1
备注: 反双曲余弦函数的对数形式
推导: 从cosh x的定义推导
标签: 常用公式
反双曲正切函数
公式:
\[\tanh^{-1}x = \frac{1}{2} \log\frac{1+x}{1-x}, \quad \coth^{-1}x = \frac{1}{2} \log\frac{x+1}{x-1}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < 1 (tanh^(-1)), | x | > 1 (coth^(-1)) |
备注: 反双曲正切和反双曲余切函数的对数形式
推导: 从tanh x和coth x的定义推导
标签: 常用公式
双曲函数与三角函数的复数关系
公式:
\[\tanh x = -i \tan (ix), \quad \coth x = i \cot (ix)\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
适用条件: x为实数
备注: 双曲函数与三角函数通过虚数单位的关系
推导: 从双曲函数和三角函数的定义推导
标签: 常用公式
双曲函数与三角函数的复数关系（续）
公式:
\[\text{sech } x = \sec (ix), \quad \text{csch } x = i \csc (ix)\]变量说明:
- x: 变量
- i: 虚数单位
适用条件: x为实数
备注: 双曲正割和双曲余割函数与三角函数的复数关系
推导: 从双曲函数和三角函数的定义推导
标签: 常用公式
高等数学-导数
导数定义
公式:
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]变量说明:
- f’(x): 导数
- f(x): 函数
- h: 增量
适用条件: 函数在x处可导
备注: 导数是函数在某点的瞬时变化率
推导: 导数定义
标签: 常用公式, 必背公式
基本导数公式
公式:
\[(x^n)' = nx^{n-1}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}\]变量说明:
- x: 变量
- n: 指数
备注: 基本初等函数的导数公式
推导: 由导数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
求导法则
公式:
\[(u \pm v)' = u' \pm v', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \quad [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]变量说明:
- u, v: 函数
- u’, v’: 导数
适用条件: 函数可导
备注: 和差积商法则和复合函数求导法则（链式法则）
推导: 由导数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
高阶导数
公式:
\[f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}\]变量说明:
- n: 阶数
- f⁽ⁿ⁾(x): n阶导数
适用条件: 函数n次可导
备注: 对函数连续求导n次
推导: 高阶导数定义
标签: 常用公式
隐函数求导
公式:
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y}\]变量说明:
- F(x,y): 隐函数
- Fx’, Fy’: 偏导数
适用条件: Fy’ ≠ 0
备注: 对于隐函数F(x,y)=0，求dy/dx
推导: 由链式法则推导
标签: 常用公式
参数方程求导
公式:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\]变量说明:
- x = x(t): x的参数方程
- y = y(t): y的参数方程
- t: 参数
适用条件: dx/dt ≠ 0
备注: 参数方程确定函数的导数
推导: 由链式法则推导
标签: 常用公式, 必背公式
极坐标求导
公式:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}\]变量说明:
- r = r(θ): 极坐标方程
- r’: r对θ的导数
- θ: 极角
适用条件: 分母不为0
备注: 极坐标形式下曲线的切线斜率
推导: 由参数方程求导推导
标签: 常用公式
对数求导法
公式:
\[\text{对于} \quad y = [u(x)]^{v(x)}, \quad \text{先取对数：} \quad \ln y = v(x)\ln u(x), \quad \text{再求导：} \quad \frac{y'}{y} = v'(x)\ln u(x) + \frac{v(x)u'(x)}{u(x)}\]变量说明:
- u(x), v(x): 函数
- y’, u’, v’: 导数
适用条件: u(x) > 0
备注: 用于求幂指函数的导数
推导: 由对数函数求导法则推导
标签: 常用公式
高等数学-微分方程
可分离变量微分方程
公式:
\[\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \quad \to \quad \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx\]变量说明:
- f(x), g(y): 函数
- x, y: 变量
适用条件: g(y) ≠ 0
备注: 变量可分离的一阶微分方程
推导: 分离变量法
标签: 常用公式, 必背公式
齐次微分方程
公式:
\[\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \quad \to \quad \text{令} \quad u = \frac{y}{x}, \quad \text{化为可分离变量方程}\]变量说明:
- f(u): 函数
- u: 新变量
备注: 可通过变量替换化为可分离变量方程
推导: 变量替换法
标签: 常用公式
一阶线性微分方程
公式:
\[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \quad \to \quad y = e^{-\int Pdx}\left[\int Qe^{\int Pdx}dx + C\right]\]变量说明:
- P(x), Q(x): 函数
- C: 常数
适用条件: P(x), Q(x)连续
备注: 一阶线性非齐次微分方程的通解公式
推导: 常数变易法
标签: 常用公式, 必背公式
二阶常系数齐次线性微分方程
公式:
\[y'' + py' + qy = 0 \quad \to \quad \text{特征方程} \quad r^2 + pr + q = 0, \quad \text{根据根的三种情况求解}\]变量说明:
- p, q: 常数
- r: 特征根
备注: 特征方程有两个不同实根、重根或共轭复根时，通解形式不同
推导: 特征方程法
标签: 常用公式, 必背公式
欧拉方程
公式:
\[x^2y'' + pxy' + qy = 0 \quad \to \quad \text{令} \quad x = e^t, \quad \text{化为常系数方程}\]变量说明:
- p, q: 常数
- t: 新变量
适用条件: x > 0
备注: 可通过变量替换化为常系数线性微分方程
推导: 变量替换法
标签: 常用公式
高等数学-极限
极限定义
公式:
\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]变量说明:
- a: 趋近值
- L: 极限值
- f(x): 函数
备注: 当x无限接近a时，f(x)无限接近L
推导: 极限定义
标签: 常用公式, 必背公式
重要极限1
公式:
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]变量说明:
- x: 角度（弧度） (单位: rad)
适用条件: x → 0
备注: 第一个重要极限，用于求含三角函数的极限
推导: 由夹逼定理推导
标签: 常用公式, 必背公式
重要极限2
公式:
\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\]变量说明:
- x: 变量
- e: 自然常数 (单位: 约2.71828)
适用条件: x → ∞
备注: 第二个重要极限，e的定义式
推导: 由极限定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
高等数学-特殊函数
高斯伽马函数定理
公式:
\[\psi(r/m) = -\gamma - \log(2m) - \frac{\pi}{2}\cot(r\pi/m) + 2\sum_{n=1}^{\lfloor(m-1)/2\rfloor} \cos(2\pi nr/m)\log(\sin(\pi n/m))\]变量说明:
- r, m: 自然数
- ψ: Digamma函数
- γ: 欧拉-马歇罗尼常数
适用条件: ∀r, m ∈ N, 0 < r < m
备注: 利用Gauss’s digamma theorem计算Digamma函数在有理数点的值
推导: Gauss’s digamma theorem
标签: 定理
高等数学-积分
常用积分公式 32°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\sin(ax)}{x} dx = \frac{\pi}{2}\text{sgn}(a)\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a为实数
备注: 狄利克雷积分
推导: 复分析
标签: 常用公式, 必背公式
常用积分公式 21°
公式:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\]适用条件: 无
备注: 欧拉-泊松积分
推导: 高斯积分
标签: 常用公式, 必背公式
常用积分公式 20°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-bx^2} dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{b}}\]变量说明:
- b: 参数
适用条件: b > 0
备注: 高斯积分
推导: 从公式17°推导
标签: 常用公式, 必背公式
不定积分定义
公式:
\[\int f(x)dx = F(x) + C, \quad \text{其中} \quad F'(x) = f(x)\]变量说明:
- f(x): 被积函数
- F(x): 原函数
- C: 积分常数
适用条件: f(x)连续
备注: 不定积分是导数的逆运算
推导: 积分定义
标签: 常用公式, 必背公式
基本积分公式
公式:
\[\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C, \quad \int e^xdx = e^x + C, \quad \int \sin x dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x dx = \sin x + C\]变量说明:
- x: 变量
- n: 指数
- C: 积分常数
适用条件: n ≠ -1
| 备注: 基本初等函数的不定积分公式。极限情形：当 n→-1 时，由洛必达法则可得 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹ln(x) + C，代入 n=-1 得 ∫1/x dx = ln | x | + C（注意 x^(n+1) = exp((n+1)ln(x))，对 n 求导得 x^(n+1)ln(x)） |
| 推导: 由导数公式逆推。极限情形推导：当 n→-1 时，对 ∫xⁿdx = x^(n+1)/(n+1) + C 应用洛必达法则，由于 x^(n+1) = exp((n+1)ln(x))，对 n 求导得 x^(n+1)ln(x)，因此极限为 x^(n+1)ln(x) + C，当 n=-1 时即为 ln | x | + C |
标签: 常用公式, 必背公式
定积分定义
公式:
\[\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\]变量说明:
- a, b: 积分上下限
- f(x): 被积函数
- Δxᵢ: 小区间长度
适用条件: f(x)在[a,b]上可积
备注: 定积分是函数在区间上的面积
推导: 黎曼积分定义
标签: 常用公式, 必背公式
牛顿-莱布尼茨公式
公式:
\[\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\]变量说明:
- F(x): f(x)的原函数
- a, b: 积分上下限
适用条件: F’(x) = f(x)，F(x)在[a,b]上连续
备注: 定积分计算的基本公式，连接了积分与导数
推导: 微积分基本定理
标签: 常用公式, 必背公式
换元积分法
公式:
\[\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du, \quad \text{其中} \quad u = g(x)\]变量说明:
- f(x), g(x): 函数
- u: 新变量
适用条件: g(x)可导，f(u)可积
备注: 通过变量替换简化积分计算
推导: 由链式法则推导
标签: 常用公式, 必背公式
分部积分法
公式:
\[\int u dv = uv - \int v du\]变量说明:
- u, v: 函数
- du, dv: 微分
适用条件: u, v可导
备注: 用于求两个函数乘积的积分
推导: 由乘积求导法则推导
标签: 常用公式, 必背公式
有理函数积分
公式:
\[\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx = \int \left[\sum \frac{A}{(x-a)^n} + \sum \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^m}\right]dx\]变量说明:
- P(x), Q(x): 多项式
- A, B, C: 待定系数
适用条件: Q(x)的次数大于P(x)的次数
备注: 通过部分分式分解，将有理函数积分转化为简单函数的积分
推导: 代数理论
标签: 常用公式
三角换元法
公式:
\[\sqrt{a^2-x^2} \to x = a\sin t, \quad \sqrt{a^2+x^2} \to x = a\tan t, \quad \sqrt{x^2-a^2} \to x = a\sec t\]变量说明:
- a: 常数
- t: 新变量
适用条件: a > 0
备注: 通过三角代换消除根号
推导: 三角恒等式
标签: 常用公式, 必背公式
反常积分（无穷限）
公式:
\[\int_a^{\infty} f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)dx\]变量说明:
- a: 积分下限
- b: 积分上限
- f(x): 被积函数
适用条件: 极限存在
备注: 积分区间为无穷的反常积分
推导: 极限定义
标签: 常用公式
反常积分（瑕积分）
公式:
\[\int_a^b f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx \quad \text{（f(x)在a处无界）}\]变量说明:
- a, b: 积分上下限
- ε: 无穷小量
适用条件: 极限存在
备注: 被积函数在积分区间内有无穷间断点的反常积分
推导: 极限定义
标签: 常用公式
定积分应用 - 平面图形面积
公式:
\[S = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx\]变量说明:
- S: 面积
- f(x), g(x): 曲线函数
- a, b: 积分区间
适用条件: f(x), g(x)在[a,b]上连续
备注: 两条曲线围成的平面图形面积
推导: 定积分的几何意义
标签: 常用公式
定积分应用 - 旋转体体积
公式:
\[V = \pi \int_a^b f^2(x)dx \quad \text{（绕x轴旋转）}\]变量说明:
- V: 体积
- f(x): 曲线函数
- a, b: 积分区间
适用条件: f(x) ≥ 0，在[a,b]上连续
备注: 曲线绕坐标轴旋转形成的旋转体体积
推导: 圆盘法（切片法）
标签: 常用公式, 必背公式
定积分应用 - 弧长公式
公式:
\[L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx\]变量说明:
- L: 弧长
- f(x): 曲线函数
- a, b: 积分区间
适用条件: f’(x)连续
备注: 平面曲线的弧长
推导: 微分几何
标签: 常用公式
三角函数积分 - 正切余切
公式:
\[\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C, \quad \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
适用条件: cos x ≠ 0（tan x），sin x ≠ 0（cot x）
备注: 正切和余切函数的不定积分
推导: 由导数公式逆推
标签: 常用公式, 必背公式
三角函数积分 - 正割余割
公式:
\[\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C, \quad \int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
适用条件: cos x ≠ 0（sec x），sin x ≠ 0（csc x）
备注: 正割和余割函数的不定积分
推导: 通过换元法推导
标签: 常用公式, 必背公式
三角函数平方积分
公式:
\[\int \sin^2 x dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C, \quad \int \cos^2 x dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C, \quad \int \tan^2 x dx = \tan x - x + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
备注: 利用倍角公式或恒等式化简后积分
推导: 利用三角恒等式：sin²x = (1-cos2x)/2, cos²x = (1+cos2x)/2
标签: 常用公式, 必背公式
指数函数积分
公式:
\[\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a\neq 1), \quad \int e^{kx} dx = \frac{e^{kx}}{k} + C\]变量说明:
- a: 底数
- k: 常数
- C: 积分常数
适用条件: a > 0, a ≠ 1
备注: 一般指数函数和自然指数函数的积分
推导: 由导数公式逆推
标签: 常用公式, 必背公式
对数函数积分
公式:
\[\int \ln x dx = x\ln x - x + C, \quad \int \log_a x dx = x\left(\log_a x - \frac{1}{\ln a}\right) + C\]变量说明:
- x: 变量
- a: 底数
- C: 积分常数
适用条件: x > 0, a > 0, a ≠ 1
备注: 自然对数和一般对数函数的积分
推导: 使用分部积分法
标签: 常用公式, 必背公式
反三角函数积分
公式:
\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C, \quad \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C, \quad \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = \text{arcsec}|x| + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
| 适用条件: | x | < 1（arcsin）， | x | > 1（arcsec） |
备注: 反三角函数的不定积分公式
推导: 由反三角函数导数公式逆推
标签: 常用公式, 必背公式
双曲函数积分
公式:
\[\int \sinh x dx = \cosh x + C, \quad \int \cosh x dx = \sinh x + C, \quad \int \tanh x dx = \ln(\cosh x) + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
备注: 双曲正弦、双曲余弦、双曲正切函数的积分
推导: 由双曲函数导数公式逆推
标签: 常用公式
定积分性质 - 线性性
公式:
\[\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx\]变量说明:
- α, β: 常数
- f(x), g(x): 函数
- a, b: 积分上下限
适用条件: f(x), g(x)在[a,b]上可积
备注: 定积分的线性性质
推导: 积分定义
标签: 常用公式, 必背公式
定积分性质 - 区间可加性
公式:
\[\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx\]变量说明:
- a, b, c: 积分区间端点
- f(x): 被积函数
适用条件: a ≤ c ≤ b，f(x)在[a,b]上可积
备注: 定积分对积分区间的可加性
推导: 积分定义
标签: 常用公式, 必背公式
定积分性质 - 积分中值定理
公式:
\[\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a), \quad \text{其中} \quad \xi \in [a,b]\]变量说明:
- f(x): 连续函数
- ξ: 中值点
- a, b: 积分上下限
适用条件: f(x)在[a,b]上连续
备注: 积分第一中值定理，存在ξ使得积分值等于函数值乘以区间长度
推导: 连续函数的介值定理
标签: 常用公式, 必背公式
定积分性质 - 奇偶性
公式:
\[\text{若}f(x)\text{为奇函数，则}\int_{-a}^a f(x)dx = 0; \quad \text{若}f(x)\text{为偶函数，则}\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx\]变量说明:
- f(x): 函数
- a: 正数
适用条件: f(x)在[-a,a]上可积
备注: 利用函数的奇偶性简化定积分计算
推导: 奇偶函数的性质
标签: 常用公式, 必背公式
定积分性质 - 周期性
公式:
\[\text{若}f(x)\text{周期为}T, \text{则}\int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx\]变量说明:
- f(x): 周期函数
- T: 周期
- a: 任意实数
适用条件: f(x)周期为T
备注: 周期函数在任意一个周期上的积分值相等
推导: 周期函数的性质
标签: 常用公式
定积分应用 - 旋转体体积（绕y轴）
公式:
\[V = \pi \int_c^d g^2(y)dy \quad \text{（绕y轴旋转）}\]变量说明:
- V: 体积
- g(y): 曲线函数（y为自变量）
- c, d: 积分区间
适用条件: g(y) ≥ 0，在[c,d]上连续
备注: 曲线绕y轴旋转形成的旋转体体积
推导: 圆盘法（切片法）
标签: 常用公式, 必背公式
定积分应用 - 旋转体体积（壳法）
公式:
\[V = 2\pi \int_a^b x f(x)dx \quad \text{（绕y轴旋转，壳法）}\]变量说明:
- V: 体积
- f(x): 曲线函数
- a, b: 积分区间
适用条件: f(x) ≥ 0，在[a,b]上连续
备注: 使用柱壳法计算旋转体体积，适用于绕y轴旋转的情况
推导: 柱壳法
标签: 常用公式
定积分应用 - 旋转体侧面积
公式:
\[S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx \quad \text{（绕x轴旋转）}\]变量说明:
- S: 侧面积
- f(x): 曲线函数
- a, b: 积分区间
适用条件: f(x) ≥ 0，f’(x)连续
备注: 曲线绕坐标轴旋转形成的旋转体侧面积
推导: 旋转体表面积公式
标签: 常用公式
定积分应用 - 质心坐标
公式:
\[\bar{x} = \frac{\int_a^b x f(x)dx}{\int_a^b f(x)dx}, \quad \bar{y} = \frac{\frac{1}{2}\int_a^b f^2(x)dx}{\int_a^b f(x)dx}\]变量说明:
- x̄, ȳ: 质心坐标
- f(x): 曲线函数
- a, b: 积分区间
适用条件: f(x) ≥ 0，在[a,b]上连续
备注: 平面图形质心的坐标计算公式
推导: 质心定义
标签: 常用公式
定积分应用 - 功
公式:
\[W = \int_a^b F(x)dx\]变量说明:
- W: 功 (单位: 焦耳(J))
- F(x): 变力函数 (单位: 牛顿(N))
- a, b: 位移区间 (单位: 米(m))
适用条件: F(x)在[a,b]上连续
备注: 变力沿直线做功的计算公式
推导: 功的定义
标签: 常用公式
有理函数积分表 - 基本形式
公式:
\[\int \frac{1}{x-a} dx = \ln|x-a| + C, \quad \int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C, \quad \int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\]变量说明:
- a: 常数
- C: 积分常数
适用条件: a ≠ 0
备注: 有理函数积分的基本形式
推导: 直接积分或换元法
标签: 常用公式, 必背公式
有理函数积分表 - 高次形式
公式:
\[\int \frac{1}{(x-a)^n} dx = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n>1), \quad \int \frac{x}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+a^2) + C\]变量说明:
- a: 常数
- n: 正整数
- C: 积分常数
适用条件: n > 1
备注: 有理函数的高次幂积分
推导: 直接积分
标签: 常用公式
无理函数积分表 - 根式形式
公式:
\[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C, \quad \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C, \quad \int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C\]变量说明:
- a: 常数
- C: 积分常数
| 适用条件: a > 0, | x | > a（对于√(x²-a²)） |
备注: 含根式的无理函数积分
推导: 三角换元法或分部积分法
标签: 常用公式, 必背公式
无理函数积分表 - 线性根式
公式:
\[\int \sqrt{ax+b} dx = \frac{2}{3a}(ax+b)^{3/2} + C, \quad \int \frac{1}{\sqrt{ax+b}} dx = \frac{2}{a}\sqrt{ax+b} + C\]变量说明:
- a, b: 常数
- C: 积分常数
适用条件: a ≠ 0, ax+b > 0
备注: 线性根式函数的积分
推导: 换元法
标签: 常用公式
三角函数积分表 - 完整版
公式:
\[\int \sin x dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x dx = \sin x + C, \quad \int \sec^2 x dx = \tan x + C, \quad \int \csc^2 x dx = -\cot x + C, \quad \int \sec x \tan x dx = \sec x + C, \quad \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
备注: 完整的三角函数积分表
推导: 由导数公式逆推
标签: 常用公式, 必背公式
三角函数积分表 - 乘积形式
公式:
\[\int \sin mx \sin nx dx = \frac{\sin(m-n)x}{2(m-n)} - \frac{\sin(m+n)x}{2(m+n)} + C, \quad \int \cos mx \cos nx dx = \frac{\sin(m-n)x}{2(m-n)} + \frac{\sin(m+n)x}{2(m+n)} + C, \quad \int \sin mx \cos nx dx = -\frac{\cos(m-n)x}{2(m-n)} - \frac{\cos(m+n)x}{2(m+n)} + C\]变量说明:
- m, n: 常数
- x: 变量
- C: 积分常数
适用条件: m ≠ n
备注: 三角函数乘积的积分，利用积化和差公式
推导: 积化和差公式
标签: 常用公式
指数函数积分表 - 完整版
公式:
\[\int e^x dx = e^x + C, \quad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad \int e^{kx} dx = \frac{e^{kx}}{k} + C, \quad \int x e^x dx = e^x(x-1) + C, \quad \int x^2 e^x dx = e^x(x^2-2x+2) + C\]变量说明:
- a: 底数
- k: 常数
- C: 积分常数
适用条件: a > 0, a ≠ 1, k ≠ 0
备注: 完整的指数函数积分表，包括与多项式乘积的积分
推导: 直接积分或分部积分法
标签: 常用公式, 必背公式
对数函数积分表 - 完整版
公式:
\[\int \ln x dx = x\ln x - x + C, \quad \int \log_a x dx = x\left(\log_a x - \frac{1}{\ln a}\right) + C, \quad \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2}\left(\ln x - \frac{1}{2}\right) + C, \quad \int x^n \ln x dx = x^{n+1}\left[\frac{\ln x}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2}\right] + C\]变量说明:
- a: 底数
- n: 指数
- C: 积分常数
适用条件: x > 0, a > 0, a ≠ 1, n ≠ -1
备注: 完整的对数函数积分表，包括与多项式乘积的积分
推导: 分部积分法
标签: 常用公式, 必背公式
反三角函数积分表 - 直接积分
公式:
\[\int \arcsin x dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C, \quad \int \arccos x dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C, \quad \int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
| 适用条件: | x | ≤ 1（arcsin, arccos） |
备注: 反三角函数的直接积分公式
推导: 分部积分法
标签: 常用公式, 必背公式
反三角函数积分表 - 其他形式
公式:
\[\int \text{arccot} x dx = x\text{arccot} x + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C, \quad \int \text{arcsec} x dx = x\text{arcsec} x - \ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C, \quad \int \text{arccsc} x dx = x\text{arccsc} x + \ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
| 适用条件: | x | ≥ 1（arcsec, arccsc） |
备注: 其他反三角函数的积分
推导: 分部积分法
标签: 常用公式
双曲函数积分表 - 完整版
公式:
\[\int \sinh x dx = \cosh x + C, \quad \int \cosh x dx = \sinh x + C, \quad \int \tanh x dx = \ln(\cosh x) + C, \quad \int \coth x dx = \ln|\sinh x| + C, \quad \int \text{sech} x dx = 2\arctan(e^x) + C, \quad \int \text{csch} x dx = \ln|\tanh(x/2)| + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
适用条件: x ≠ 0（coth, csch）
备注: 完整的双曲函数积分表
推导: 由双曲函数导数公式逆推
标签: 常用公式, 必背公式
反双曲函数积分表
公式:
\[\int \text{arsinh} x dx = x\text{arsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C, \quad \int \text{arcosh} x dx = x\text{arcosh} x - \sqrt{x^2-1} + C, \quad \int \text{artanh} x dx = x\text{artanh} x + \frac{1}{2}\ln(1-x^2) + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
| 适用条件: x ≥ 1（arcosh）， | x | < 1（artanh） |
备注: 反双曲函数的积分公式，arsinh x = ln(x+√(x²+1))，arcosh x = ln(x+√(x²-1))，artanh x = (1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
推导: 分部积分法
标签: 常用公式, 必背公式
反双曲函数积分表 - 其他形式
公式:
\[\int \text{arcoth} x dx = x\text{arcoth} x + \frac{1}{2}\ln(x^2-1) + C, \quad \int \text{arsech} x dx = x\text{arsech} x + \arcsin x + C, \quad \int \text{arcsch} x dx = x\text{arcsch} x + \text{arsinh} x + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
| 适用条件: | x | > 1（arcoth），0 < x ≤ 1（arsech），x ≠ 0（arcsch） |
备注: 其他反双曲函数的积分
推导: 分部积分法
标签: 常用公式
三角函数积分表 - 高次幂
公式:
\[\int \sin^n x dx = -\frac{\sin^{n-1}x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x dx, \quad \int \cos^n x dx = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x dx\]变量说明:
- n: 正整数
- x: 变量
适用条件: n ≥ 2
备注: 三角函数高次幂的递推积分公式
推导: 分部积分法
标签: 常用公式
三角函数积分表 - 其他形式
公式:
\[\int \tan^n x dx = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int \tan^{n-2}x dx, \quad \int \cot^n x dx = -\frac{\cot^{n-1}x}{n-1} - \int \cot^{n-2}x dx, \quad \int \sec^n x dx = \frac{\sec^{n-2}x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}x dx\]变量说明:
- n: 正整数
- x: 变量
适用条件: n ≥ 2
备注: 正切、余切、正割高次幂的递推积分公式
推导: 分部积分法或恒等变换
标签: 常用公式
有理函数积分表 - 其他形式
公式:
\[\int \frac{x}{(x^2+a^2)^n} dx = -\frac{1}{2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}} + C, \quad \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx = \frac{x}{2(n-1)a^2(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2(n-1)a^2}\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}} dx\]变量说明:
- a: 常数
- n: 正整数
适用条件: n ≥ 2, a ≠ 0
备注: 有理函数高次幂的递推积分公式
推导: 分部积分法
标签: 常用公式
无理函数积分表 - 其他根式
公式:
\[\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C, \quad \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C, \quad \int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\]变量说明:
- a: 常数
- x: 变量
| 适用条件: a > 0, | x | < a（对于√(a²-x²)）， | x | > a（对于√(x²-a²)） |
备注: 其他形式的根式积分
推导: 三角换元法
标签: 常用公式
常见定积分值
公式:
\[\int_0^{\pi} \sin x dx = 2, \quad \int_0^{\pi/2} \sin x dx = 1, \quad \int_0^{\infty} e^{-x} dx = 1, \quad \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}, \quad \int_0^1 x^n(1-x)^m dx = \frac{n!m!}{(n+m+1)!}\]变量说明:
- n, m: 非负整数
备注: 常用的定积分值，包括欧拉积分
推导: 直接计算或利用特殊函数
标签: 常用公式, 必背公式
含绝对值的积分
公式:
\[\int |x-a| dx = \frac{(x-a)|x-a|}{2} + C, \quad \int |f(x)| dx = \begin{cases} \int f(x)dx & f(x) \geq 0 \\ -\int f(x)dx & f(x) < 0 \end{cases}\]变量说明:
- a: 常数
- f(x): 函数
备注: 含绝对值函数的积分，需要分段处理
推导: 分段积分
标签: 常用公式
分式积分 - 其他形式
公式:
\[\int \frac{1}{x^2+px+q} dx = \frac{2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C \quad (p^2<4q), \quad \int \frac{ax+b}{x^2+px+q} dx = \frac{a}{2}\ln(x^2+px+q) + \frac{b-ap/2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C\]变量说明:
- a, b, p, q: 常数
适用条件: p² < 4q（判别式小于0）
备注: 二次分式的积分，当判别式小于0时
推导: 配方法
标签: 常用公式
指数与三角函数的积分
公式:
\[\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C, \quad \int e^{ax} \cos bx dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2} + C\]变量说明:
- a, b: 常数
- x: 变量
适用条件: a²+b² ≠ 0
备注: 指数函数与三角函数乘积的积分
推导: 分部积分法（两次）
标签: 常用公式
双曲函数积分表 - 其他形式
公式:
\[\int \text{sech}^2 x dx = \tanh x + C, \quad \int \text{csch}^2 x dx = -\coth x + C, \quad \int \text{sech} x \tanh x dx = -\text{sech} x + C, \quad \int \text{csch} x \coth x dx = -\text{csch} x + C\]变量说明:
- x: 变量
- C: 积分常数
适用条件: x ≠ 0（csch, coth）
备注: 双曲函数其他形式的积分
推导: 由双曲函数导数公式逆推
标签: 常用公式
常用积分公式 1°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(a+bx^m)^p} dx = \frac{1}{ma^p}\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{n}{m}} B\left(p - \frac{n}{m}, \frac{n}{m}\right)\]变量说明:
- a, b, m, p: 参数
- n: 参数
- B: Beta函数
适用条件: a, b, m, p > 0, 0 < n < mp
备注: 涉及Beta函数的广义积分
推导: Beta函数定义
标签: 常用公式
常用积分公式 2°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{a+bx^m} dx = \frac{1}{ma}\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{n}{m}} \frac{\pi}{\sin(n\pi/m)}\]变量说明:
- a, b: 参数
- m, n: 参数
适用条件: a, b > 0, 0 < n < m
备注: Beta函数的特殊形式
推导: 从公式1°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 3°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{1+x^m} dx = \frac{\pi}{m\sin(n\pi/m)}\]变量说明:
- m, n: 参数
适用条件: 0 < n < m
备注: 公式2°中a=b=1的特殊情况
推导: 从公式2°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 4°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^n} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)}\]变量说明:
- n: 参数
适用条件: n > 1
备注: 公式3°中n=1的特殊情况
推导: 从公式3°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 5°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^3} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\]适用条件: 无
备注: 公式4°中n=3的特殊情况
推导: 从公式4°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 6°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^4} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\]适用条件: 无
备注: 公式4°中n=4的特殊情况
推导: 从公式4°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 7°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^6} = \frac{\pi}{3}\]适用条件: 无
备注: 公式4°中n=6的特殊情况
推导: 从公式4°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 8°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{dx}{(a^2+x^2)^n} = \frac{\pi}{2a^{2n-1}} \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\]变量说明:
- a: 参数
- n: 参数
适用条件: a > 0, n ≥ 2
备注: 涉及双阶乘的积分
推导: 递推公式
标签: 常用公式
常用积分公式 9°
公式:
\[\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt[m]{1-x^n}} = \frac{1}{n} B\left(1 - \frac{1}{n}, \frac{1}{m}\right)\]变量说明:
- m, n: 参数
- B: Beta函数
适用条件: n > 1, m > 0
备注: 涉及Beta函数的积分
推导: Beta函数定义
标签: 常用公式
常用积分公式 10°
公式:
\[\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^m}} = \frac{\sqrt{\pi}}{m} \frac{\Gamma(1/m)}{\Gamma(1/m + 1/2)}\]变量说明:
- m: 参数
- Γ: Gamma函数
适用条件: m > 0
备注: 涉及Gamma函数的积分
推导: Beta函数与Gamma函数的关系
标签: 常用公式
常用积分公式 11°
公式:
\[\int_0^{\infty} x^{a-1}e^{-bx} dx = b^{-a}\Gamma(a)\]变量说明:
- a, b: 参数
- Γ: Gamma函数
适用条件: a, b > 0
备注: Gamma函数的积分表示
推导: Gamma函数定义
标签: 常用公式
常用积分公式 12°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-ax}\cos(bx) dx = \frac{a}{a^2+b^2}\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a > 0
备注: 拉普拉斯变换
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 13°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-ax}\sin(bx) dx = \frac{b}{a^2+b^2}\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a > 0
备注: 拉普拉斯变换
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 14°
公式:
\[\int_0^{\infty} x^{p-1}e^{-ax}\cos(bx) dx = \frac{\Gamma(p)\cos(p\theta)}{(a^2+b^2)^{p/2}}, \quad \theta = \arctan(b/a)\]变量说明:
- a, p: 参数
- b: 参数
- θ: 角度
- Γ: Gamma函数
适用条件: a, p > 0
备注: 广义拉普拉斯变换
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 15°
公式:
\[\int_0^{\infty} x^{p-1}e^{-ax}\sin(bx) dx = \frac{\Gamma(p)\sin(p\theta)}{(a^2+b^2)^{p/2}}\]变量说明:
- a, p: 参数
- b: 参数
- θ: 角度
- Γ: Gamma函数
适用条件: a, p > 0
备注: 广义拉普拉斯变换
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 16°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-ax}\frac{\sin(bx)}{x} dx = \arctan(b/a)\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a > 0
备注: 狄利克雷积分
推导: 对参数a求导
标签: 常用公式
常用积分公式 17°
公式:
\[\int_0^{\infty} x^{a-1}e^{-bx^2} dx = \frac{1}{2}b^{-a/2}\Gamma(a/2)\]变量说明:
- a, b: 参数
- Γ: Gamma函数
适用条件: a, b > 0
备注: 高斯积分
推导: Gamma函数
标签: 常用公式
常用积分公式 18°
公式:
\[\int_0^{\infty} x^{2n}e^{-bx^2} dx = \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}b^n}\sqrt{\frac{\pi}{b}}\]变量说明:
- n: 参数
- b: 参数
适用条件: n ≥ 1, b > 0
备注: 偶数次幂的高斯积分
推导: 从公式17°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 19°
公式:
\[\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-bx^2} dx = \frac{(n-1)!}{2b^n}\]变量说明:
- n: 参数
- b: 参数
适用条件: n ≥ 1, b > 0
备注: 奇数次幂的高斯积分
推导: 从公式17°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 20°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-bx^2} dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{b}}\]变量说明:
- b: 参数
适用条件: b > 0
备注: 高斯积分
推导: 从公式17°推导
标签: 常用公式, 必背公式
常用积分公式 21°
公式:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\]适用条件: 无
备注: 欧拉-泊松积分
推导: 高斯积分
标签: 常用公式, 必背公式
常用积分公式 22°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cos(bx) dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-b^2/(4a)}\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a > 0
备注: 高斯-傅里叶积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 23°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cosh(bx) dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{b^2/(4a)}\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a > 0
备注: 高斯-双曲余弦积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 24°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-ax}\sin^{2n}(x) dx = \frac{(2n)!}{a(2^2+a^2)(4^2+a^2)\cdots(4n^2+a^2)}\]变量说明:
- a: 参数
- n: 参数
适用条件: a > 0
备注: 涉及正弦偶数次幂的积分
推导: 递推公式
标签: 常用公式
常用积分公式 25°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-ax}\sin^{2n-1}(x) dx = \frac{(2n-1)!}{(1+a^2)(3^2+a^2)\cdots((2n-1)^2+a^2)}\]变量说明:
- a: 参数
- n: 参数
适用条件: a > 0
备注: 涉及正弦奇数次幂的积分
推导: 递推公式
标签: 常用公式
常用积分公式 26°
公式:
\[\int_0^{\infty} x^{a-1}e^{-bx^n} dx = \frac{1}{nb^{a/n}}\Gamma(a/n)\]变量说明:
- a, b, n: 参数
- Γ: Gamma函数
适用条件: a, b, n > 0
备注: 广义Gamma函数积分
推导: Gamma函数
标签: 常用公式
常用积分公式 27°
公式:
\[\int_0^{\pi/2} \sin^m(x)\cos^n(x) dx = \frac{1}{2}B\left(\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2}\right)\]变量说明:
- m, n: 参数
- B: Beta函数
适用条件: m, n > -1
备注: Beta函数积分
推导: Beta函数定义
标签: 常用公式
常用积分公式 28°
公式:
\[\int_0^{\pi/2} \sin^{2n}(x) dx = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}\]变量说明:
- n: 参数
适用条件: n ≥ 1
备注: 正弦偶数次幂的积分
推导: 从公式27°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 29°
公式:
\[\int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}(x) dx = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\]变量说明:
- n: 参数
适用条件: n ≥ 0
备注: 正弦奇数次幂的积分
推导: 从公式27°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 30°
公式:
\[\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(a+\sin^2(x))^2} = \frac{\pi(2a+1)}{4(a^2+a)^{3/2}}\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a > 0
备注: 涉及正弦平方的积分
推导: Beta函数
标签: 常用公式
常用积分公式 31°
公式:
\[\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2(nx)}{\sin^2(x)} dx = \frac{n\pi}{2}\]变量说明:
- n: 正整数
适用条件: n为正整数
备注: 费耶积分
推导: 费耶积分
标签: 常用公式
常用积分公式 32°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\sin(ax)}{x} dx = \frac{\pi}{2}\text{sgn}(a)\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a为实数
备注: 狄利克雷积分
推导: 复分析
标签: 常用公式, 必背公式
常用积分公式 33°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\tan(ax)}{x} dx = \frac{\pi}{2}\text{sgn}(a)\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a为实数
备注: 正切函数的积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 34°
公式:
\[\int_0^{\infty} \left(\frac{\sin(ax)}{x}\right)^2 dx = \frac{\pi}{2}|a|\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a为实数
备注: 正弦平方的积分
推导: 从公式32°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 35°
公式:
\[\int_0^{\infty} \left(\frac{\sin(ax)}{x}\right)^3 dx = \frac{3\pi}{8}a|a|\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a为实数
备注: 正弦三次方的积分
推导: 从公式32°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 36°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x} dx = \ln(b/a)\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a, b > 0
备注: 余弦差分的积分
推导: 从公式32°推导
标签: 常用公式
常用积分公式 37°
公式:
\[\int_0^{\infty} \sin(x^2) dx = \int_0^{\infty} \cos(x^2) dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\]适用条件: 无
备注: 菲涅耳积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 38°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} dx = \int_0^{\infty} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\]适用条件: 无
备注: 涉及平方根的三角函数积分
推导: Gamma函数
标签: 常用公式
常用积分公式 39°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^p} dx = \frac{\pi a^{p-1}}{2\Gamma(p)\cos(p\pi/2)}\]变量说明:
- a: 参数
- p: 参数
- Γ: Gamma函数
适用条件: 0 < p < 1, a > 0
备注: 涉及Gamma函数的积分
推导: Gamma函数
标签: 常用公式
常用积分公式 40°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\sin(ax)}{x^p} dx = \frac{\pi a^{p-1}}{2\Gamma(p)\sin(p\pi/2)}\]变量说明:
- a: 参数
- p: 参数
- Γ: Gamma函数
适用条件: 0 < p < 2, a > 0
备注: 涉及Gamma函数的积分
推导: Gamma函数
标签: 常用公式
常用积分公式 41°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\sin^p x}{x} dx = 2^{p-2}\frac{\Gamma^2(p/2)}{\Gamma(p)}\]变量说明:
- p: 参数
- Γ: Gamma函数
适用条件: p = m/n, m,n为正奇数
备注: 涉及Gamma函数的积分
推导: Gamma函数
标签: 常用公式
常用积分公式 42°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\cos(bx)}{a^2+x^2} dx = \frac{\pi}{2a}e^{-ab}\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a, b > 0
备注: 拉普拉斯积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 43°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x\sin(bx)}{a^2+x^2} dx = \frac{\pi}{2}e^{-ab}\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: a, b > 0
备注: 拉普拉斯积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 44°
公式:
\[\int_0^1 x^{a-1}(\ln x)^n dx = \frac{(-1)^n n!}{a^{n+1}}\]变量说明:
- a: 参数
- n: 参数
适用条件: a > 0, n ≥ 0
备注: 涉及对数的积分
推导: 对参数a求导
标签: 常用公式
常用积分公式 45°
公式:
\[\int_0^{\infty} e^{-x}\ln x dx = -\gamma\]变量说明:
- γ: 欧拉常数
适用条件: 无
备注: 欧拉常数的积分表示
推导: Gamma函数
标签: 常用公式
常用积分公式 46°
公式:
\[\int_0^1 \ln x \ln(1+x) dx = 2 - \ln 4 - \frac{\pi^2}{12}\]适用条件: 无
备注: 涉及对数的积分
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 47°
公式:
\[\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x} dx = \frac{\pi^2}{12}\]适用条件: 无
备注: π²/12的积分表示
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 48°
公式:
\[\int_0^1 \ln x \ln(1-x) dx = 2 - \frac{\pi^2}{6}\]适用条件: 无
备注: 涉及对数的积分
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 49°
公式:
\[\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{8}\ln 2\]适用条件: 无
备注: 涉及对数和反正切的积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 50°
公式:
\[\int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = -\frac{\pi}{2}\ln 2\]适用条件: 无
备注: 欧拉积分
推导: 对称性
标签: 常用公式
常用积分公式 51°
公式:
\[\int_0^{\pi} \ln(a \pm b\cos x) dx = \pi \ln\left(\frac{a + \sqrt{a^2-b^2}}{2}\right)\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: 0 < b ≤ a
备注: 涉及对数和余弦的积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 52°
公式:
\[\int_0^{\pi} \ln(a^2 - 2ab\cos x + b^2) dx = 2\pi \ln a\]变量说明:
- a, b: 参数
适用条件: 0 < b ≤ a
备注: 涉及对数和余弦的积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 53°
公式:
\[\int_0^{\pi} \ln(1 - 2q\cos x + q^2) dx = \begin{cases} 0 & |q| \leq 1 \\ 2\pi \ln|q| & |q| > 1 \end{cases}\]变量说明:
- q: 参数
适用条件: q为实数
备注: 分段函数的积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 54°
公式:
\[\int_0^{\pi} \frac{\ln(1+q\cos x)}{\cos x} dx = \pi \arcsin(q)\]变量说明:
- q: 参数
| 适用条件: | q | < 1 |
备注: 涉及对数和余弦的积分
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 55°
公式:
\[\int_0^{2\pi} \frac{1-q^2}{1-2q\cos x + q^2} dx = 2\pi\]变量说明:
- q: 参数
| 适用条件: | q | < 1 |
备注: 泊松核的积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 56°
公式:
\[\int_0^{\pi} \frac{\cos(nx)}{1-2q\cos x + q^2} dx = \frac{\pi q^n}{1-q^2}\]变量说明:
- q: 参数
- n: 自然数
| 适用条件: | q | < 1, n为自然数 |
备注: 涉及余弦的积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 57°
公式:
\[\int_0^1 \frac{dx}{1+2x\cos\alpha + x^2} = \frac{\alpha}{2\sin\alpha}\]变量说明:
- α: 角度
适用条件: 0 < α < π/2
备注: 涉及三角函数的积分
推导: 部分分式分解
标签: 常用公式
常用积分公式 58°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+2x\cos\alpha + x^2} = \frac{\alpha}{\sin\alpha}\]变量说明:
- α: 角度
适用条件: 0 < α < π/2
备注: 涉及三角函数的广义积分
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用积分公式 59°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x}{e^x + 1} dx = \frac{\pi^2}{12}\]适用条件: 无
备注: π²/12的积分表示
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 60°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\sin(ax)}{e^x + 1} dx = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{\pi}{\sinh(a\pi)}\right)\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a ≠ 0
备注: 涉及双曲正弦的积分
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 61°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^2}{6}\]适用条件: 无
备注: π²/6的积分表示
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 62°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{\sin(ax)}{e^x - 1} dx = \frac{1}{2}\left(\pi\coth(a\pi) - \frac{1}{a}\right)\]变量说明:
- a: 参数
适用条件: a ≠ 0
备注: 涉及双曲余切的积分
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 63°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{e^x - 1} dx = \frac{(2\pi)^{2n}B_n}{4n}\]变量说明:
- n: 参数
- B_n: 第n个伯努利数
适用条件: n为正整数
备注: 涉及伯努利数的积分
推导: 级数展开
标签: 常用公式
常用积分公式 64°
公式:
\[\int_0^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}\]适用条件: 无
备注: π⁴/15的积分表示
推导: 公式63°中令n=2
标签: 常用公式
罗巴切夫斯基积分法
公式:
\[\text{设}f(x)\text{在}0 \leq x < +\infty\text{范围内，}f(x+\pi) = f(x)\text{及}f(\pi-x) = f(x)\text{，则：}\int_0^{+\infty} f(x)\frac{\sin x}{x} dx = \int_0^{\pi/2} f(x) dx\]变量说明:
- f(x): 满足条件的函数
适用条件: f(x+π) = f(x) 及 f(π-x) = f(x)
备注: 罗巴切夫斯基(Lobachevsky)积分法。当f(x) = 1时，便是狄利克雷积分
推导: 罗巴切夫斯基积分法
标签: 定理
罗巴切夫斯基积分法（续）
公式:
\[\text{类似的，在同样条件下：}\int_0^{+\infty} f(x)\frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_0^{\pi/2} f(x) dx\]变量说明:
- f(x): 满足条件的函数
适用条件: f(x+π) = f(x) 及 f(π-x) = f(x)
备注: 罗巴切夫斯基积分法的另一种形式
推导: 罗巴切夫斯基积分法
标签: 定理
切比雪夫定理
公式:
\[\text{设}\int x^m (a+bx^n)^p dx\text{为一个二项微分式，其中}p, m, n\text{为有理数，则其可表示为初等函数的充分必要条件是}p, (m+1)/n, (m+1)/n + p\text{中至少有一个为整数}\]变量说明:
- p, m, n: 有理数
- a, b: 常数
适用条件: p, m, n为有理数
备注: 定理2.1 (Chebyshev定理)。当p为整数时，可令x = t^q，其中q为m和n的公分母；当(m+1)/n为整数时，可令a+bx^n = t^r，其中r为有理数p的分母；当(m+1)/n + p为整数时，可令(a+bx^n)/x^n = t^r，其中r为有理数p的分母
推导: 切比雪夫定理
标签: 定理
辛普森公式求拟柱体体积
公式:
\[V = \frac{h}{6}[B_1 + 4B_2 + B_3]\]变量说明:
- V: 拟柱体体积 (单位: 体积单位)
- h: 高度 (单位: 长度单位)
- B₁: 下底面积 (单位: 面积单位)
- B₂: 中截面面积 (单位: 面积单位)
- B₃: 上底面积 (单位: 面积单位)
适用条件: h > 0, B₁, B₂, B₃ ≥ 0
备注: 辛普森公式用于计算拟柱体（棱台、圆台等）的体积。当 B₁ = B₃ 时，拟柱体退化为柱体，公式变为 V = B₁h
推导: 由辛普森积分公式推导：V = ∫₀^h S(x)dx，其中 S(x) 为高度 x 处的截面积。假设截面积是高度的二次函数，通过三点（0, B₁）、(h/2, B₂）、(h, B₃）确定二次函数，然后积分得到
标签: 常用公式
高等数学-级数
常用求和公式 76
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449...\]适用条件: 级数收敛
备注: 巴塞尔问题，π²/6的级数表示
推导: 公式75°中令k=1
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 24
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 余弦函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 22
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 正弦函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 20
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 指数函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 11
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{2n-1} = \arctan x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 反正切函数的幂级数展开（莱布尼茨级数）
推导: 对几何级数积分并代入x²
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 1
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < 1 |
备注: 几何级数求和公式
推导: 等比数列求和公式的极限形式
标签: 常用公式, 必背公式
傅里叶级数
公式:
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}]\]变量说明:
- f(x): 周期函数
- aₙ, bₙ: 傅里叶系数
- L: 半周期
适用条件: f(x)周期为2L，满足狄利克雷条件
备注: 将周期函数展开为三角函数级数
推导: 傅里叶分析
标签: 常用公式, 必背公式
交错级数审敛法 - 莱布尼茨判别法
公式:
\[\text{若} \quad a_n \geq a_{n+1} > 0 \quad \text{且} \quad \lim a_n = 0, \quad \text{则} \quad \sum (-1)^n a_n \text{收敛}\]变量说明:
- aₙ: 级数通项
适用条件: aₙ > 0
备注: 判断交错级数的收敛性
推导: 级数理论
标签: 常用公式, 必背公式
正项级数审敛法 - 根值判别法（柯西）
公式:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho, \quad \rho < 1 \text{收敛}, \quad \rho > 1 \text{发散}, \quad \rho = 1 \text{失效}\]变量说明:
- aₙ: 级数通项
- ρ: 极限值
备注: 通过通项的n次方根判断级数敛散性
推导: 级数理论
标签: 常用公式, 必背公式
正项级数审敛法 - 比值判别法（达朗贝尔）
公式:
\[\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho, \quad \rho < 1 \text{收敛}, \quad \rho > 1 \text{发散}, \quad \rho = 1 \text{失效}\]变量说明:
- aₙ: 级数通项
- ρ: 极限值
适用条件: aₙ > 0
备注: 通过相邻项的比值判断级数敛散性
推导: 级数理论
标签: 常用公式, 必背公式
泰勒级数
公式:
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]变量说明:
- f(x): 函数
- a: 展开点
- n: 阶数
适用条件: f(x)在a处无限次可导
备注: 将函数展开为幂级数
推导: 泰勒定理
标签: 常用公式, 必背公式
麦克劳林级数
公式:
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]变量说明:
- f(x): 函数
- n: 阶数
适用条件: f(x)在0处无限次可导
备注: 泰勒级数在a=0时的特殊情况
推导: 由泰勒级数推导
标签: 常用公式, 必背公式
常见函数的麦克劳林展开
公式:
\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \quad \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\]变量说明:
- x: 变量
- n: 项数
| 适用条件: | x | < 1（对于1/(1-x)） |
备注: 常用函数的幂级数展开
推导: 由麦克劳林级数推导
标签: 常用公式, 必背公式
正项级数审敛法 - 比较判别法
公式:
\[\text{若} \quad 0 \leq a_n \leq b_n, \quad \text{则：} \quad \sum b_n \text{收敛} \to \sum a_n \text{收敛}, \quad \sum a_n \text{发散} \to \sum b_n \text{发散}\]变量说明:
- aₙ, bₙ: 级数通项
适用条件: aₙ ≥ 0, bₙ ≥ 0
备注: 通过比较判断正项级数的敛散性
推导: 级数理论
标签: 常用公式, 必背公式
正项级数审敛法 - 比值判别法（达朗贝尔）
公式:
\[\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho, \quad \rho < 1 \text{收敛}, \quad \rho > 1 \text{发散}, \quad \rho = 1 \text{失效}\]变量说明:
- aₙ: 级数通项
- ρ: 极限值
适用条件: aₙ > 0
备注: 通过相邻项的比值判断级数敛散性
推导: 级数理论
标签: 常用公式, 必背公式
正项级数审敛法 - 根值判别法（柯西）
公式:
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho, \quad \rho < 1 \text{收敛}, \quad \rho > 1 \text{发散}, \quad \rho = 1 \text{失效}\]变量说明:
- aₙ: 级数通项
- ρ: 极限值
备注: 通过通项的n次方根判断级数敛散性
推导: 级数理论
标签: 常用公式, 必背公式
交错级数审敛法 - 莱布尼茨判别法
公式:
\[\text{若} \quad a_n \geq a_{n+1} > 0 \quad \text{且} \quad \lim a_n = 0, \quad \text{则} \quad \sum (-1)^n a_n \text{收敛}\]变量说明:
- aₙ: 级数通项
适用条件: aₙ > 0
备注: 判断交错级数的收敛性
推导: 级数理论
标签: 常用公式, 必背公式
傅里叶级数
公式:
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}]\]变量说明:
- f(x): 周期函数
- aₙ, bₙ: 傅里叶系数
- L: 半周期
适用条件: f(x)周期为2L，满足狄利克雷条件
备注: 将周期函数展开为三角函数级数
推导: 傅里叶分析
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 1
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < 1 |
备注: 几何级数求和公式
推导: 等比数列求和公式的极限形式
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 2
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < 1 |
备注: 几何级数的加权求和
推导: 对几何级数求导
标签: 常用公式
常用求和公式 3
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < 1 |
备注: 几何级数的平方加权求和
推导: 对几何级数多次求导
标签: 常用公式
常用求和公式 4
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: -1 ≤ x < 1
备注: 对数函数的幂级数展开
推导: 对几何级数积分
标签: 常用公式
常用求和公式 5
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} = \ln(1+x)\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: -1 < x ≤ 1
备注: 对数函数的交错级数展开
推导: 对交错几何级数积分
标签: 常用公式
常用求和公式 6
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2\]适用条件: 级数收敛
备注: ln2的级数表示
推导: 公式5°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 7
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n(n-1)} = (1-x)\ln(1-x) + x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 涉及对数函数的级数求和
推导: 部分分式分解后积分
标签: 常用公式
常用求和公式 8
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\]适用条件: 级数收敛
备注: 望远镜级数求和
推导: 部分分式分解
标签: 常用公式
常用求和公式 9
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} = \ln 4 - 1\]适用条件: 级数收敛
备注: 交错望远镜级数求和
推导: 交错级数的部分分式分解
标签: 常用公式
常用求和公式 10
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < 1 |
备注: 反双曲正切函数的级数展开
推导: 从对数级数推导
标签: 常用公式
常用求和公式 11
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{2n-1} = \arctan x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 反正切函数的幂级数展开（莱布尼茨级数）
推导: 对几何级数积分并代入x²
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 12
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}\]适用条件: 级数收敛
备注: π/4的级数表示（莱布尼茨公式）
推导: 公式11°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 13
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n^2-1} = \frac{2+x}{4} + \frac{1-x^2}{2x} \ln(1-x)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 涉及对数函数的级数求和
推导: 部分分式分解后积分
标签: 常用公式
常用求和公式 14
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-1} = \frac{3}{4}\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 公式13°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 15
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2-1} = \frac{1}{4}\]适用条件: 级数收敛
备注: 交错常数级数求和
推导: 交错级数的部分分式分解
标签: 常用公式
常用求和公式 16
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n(2n-1)} = x \ln\frac{1+x}{1-x} + \ln(1-x^2)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < 1 |
备注: 涉及对数函数的级数求和
推导: 部分分式分解后积分
标签: 常用公式
常用求和公式 17
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n(2n-1)} = 2x \arctan x - \ln(1+x^2)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 涉及反正切和对数函数的级数求和
推导: 部分分式分解后积分
标签: 常用公式
常用求和公式 18
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n-1)} = 2\ln 2\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 公式16°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 19
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2n-1)} = \frac{\pi}{2} - \ln 2\]适用条件: 级数收敛
备注: 交错常数级数求和
推导: 公式17°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 20
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 指数函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 21
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sinh x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 双曲正弦函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式
常用求和公式 22
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 正弦函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 23
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = \cosh x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 双曲余弦函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式
常用求和公式 24
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 余弦函数的泰勒级数展开
推导: 泰勒级数
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 25
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^n = \frac{1}{\sqrt{1-x}} - 1\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: -1 ≤ x < 1
备注: 涉及双阶乘的幂级数展开
推导: 二项式级数
标签: 常用公式
常用求和公式 26
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 公式25°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 27
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \arcsin x - x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 反正弦函数的级数展开
推导: 对公式25°积分
标签: 常用公式
常用求和公式 28
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \text{arsinh } x - x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ 1 |
备注: 反双曲正弦函数的级数展开
推导: 对交错级数积分
标签: 常用公式
常用求和公式 29
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2} - 1\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 公式27°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 30
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!(-1)^n}{(2n)!!} \frac{1}{2n+1} = \ln(1+\sqrt{2}) - 1\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 公式28°中令x=1
标签: 常用公式
常用求和公式 31
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi}{2} - x\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 < x < 2π
备注: 正弦函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 32
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n} = -\ln|2\sin(x/2)|\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: 0 < | x | ≤ π |
备注: 余弦函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 33
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos(nx)}{n} = \ln(2\cos(x/2))\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 交错余弦函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 34
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin(nx)}{n} = \frac{x}{2}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 交错正弦函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 35
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos((2n-1)x)}{n} = (\frac{\pi}{2}-x)\cos x - \cos x \ln(2\sin x)\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 < x < π
备注: 复杂三角函数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 36
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin((2n-1)x)}{n} = (\frac{\pi}{2}-x)\cos x + \sin x \ln(2\sin x)\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 < x < π
备注: 复杂三角函数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 37
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos((2n-1)x)}{n} = x\sin x + \cos x \ln(2\cos x)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π/2 |
备注: 复杂交错三角函数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 38
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin((2n-1)x)}{n} = x\cos x - \sin x \ln(2\cos x)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π/2 |
备注: 复杂交错三角函数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 39
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos((2n-1)x)}{2n-1} = \frac{1}{2} \ln|\cot(x/2)|\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: 0 < | x | < π |
备注: 余弦函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 40
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin((2n-1)x)}{2n-1} = \frac{\pi}{4} \text{sgn } x\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 正弦函数的傅里叶级数，sgn为符号函数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 41
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos((2n-1)x)}{2n-1} = \begin{cases} \frac{\pi}{4} & 0 \leq x < \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi \end{cases}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 ≤ x ≤ π
备注: 分段函数的傅里叶级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 42
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin((2n-1)x)}{2n-1} = \frac{1}{2} \ln|\tan(x/2 + \pi/4)|\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 ≤ x ≤ π
备注: 复杂三角函数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 43
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} = \frac{3x^2 - 6\pi x + 2\pi^2}{12}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 ≤ x ≤ 2π
备注: 余弦函数的平方倒数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 44
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^2(nx)}{n^2} = \frac{3x^2 - 3\pi x + \pi^2}{6}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 ≤ x ≤ π
备注: 余弦平方的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 45
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^2(nx)}{n^2} = \frac{x(\pi-x)}{2}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 ≤ x ≤ π
备注: 正弦平方的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 46
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}|x|\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 余弦函数的平方倒数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 47
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8} = 1.2337...\]适用条件: 级数收敛
备注: π²/8的级数表示
推导: 公式46°中令x=0
标签: 常用公式
常用求和公式 48
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2+1} = \frac{\pi\cosh(x)}{2\sinh(\pi)} - \frac{1}{2}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 涉及双曲函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 49
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}n\sin(nx)}{n^2+1} = \frac{\pi\sinh(x)}{2\sinh(\pi)}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 涉及双曲函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 50
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1} = \frac{1}{2}(\pi\coth(\pi) - 1) = 1.07667...\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 51
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1} = \frac{\pi}{2\sinh(\pi)} - \frac{1}{2} = -0.36398...\]适用条件: 级数收敛
备注: 交错常数级数求和
推导: 公式48°中令x=0
标签: 常用公式
常用求和公式 52
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2-1} = \frac{1}{2} + \frac{x-\pi}{2}\sin(x) + \frac{\cos(x)}{4}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: 0 ≤ x ≤ π
备注: 涉及三角函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 53
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2-1} = \sin(x)(\frac{1}{4} - \ln|2\sin(x/2)|)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 涉及三角函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 54
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2-1} = \frac{1}{2} - \frac{\cos(x)}{4} - \frac{x\sin(x)}{2}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | ≤ π |
备注: 交错三角函数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 55
公式:
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n\sin(nx)}{n^2-1} = \sin(x)(\ln|2\cos(x/2)| - \frac{1}{4})\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < π |
备注: 交错三角函数级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 56
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}|\sin(x)|\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 余弦函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 57
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2nx)}{4n^2-1} = \frac{1}{2}\sin(x)\ln|\cot(x/2)|\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 正弦函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 58
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos(2nx)}{4n^2-1} = \frac{\pi}{4}|\cos(x)| - \frac{1}{2}\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 交错余弦函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 59
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin(2nx)}{4n^2-1} = \frac{\cos(x)}{2} \ln|\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}|\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 交错正弦函数的级数
推导: 傅里叶级数
标签: 常用公式
常用求和公式 60
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{2}\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 部分分式分解
标签: 常用公式
常用求和公式 61
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{4n^2-1} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = 0.285398...\]适用条件: 级数收敛
备注: 交错常数级数求和
推导: 交错级数的部分分式分解
标签: 常用公式
常用求和公式 62
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n!} = e^{\cos x} \cos(\sin x)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 涉及指数和三角函数的级数
推导: 欧拉公式
标签: 常用公式
常用求和公式 63
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n!} = e^{\cos x} \sin(\sin x)\]变量说明:
- x: 变量
| 适用条件: | x | < +∞ |
备注: 涉及指数和三角函数的级数
推导: 欧拉公式
标签: 常用公式
常用求和公式 64
公式:
\[\sum_{n=0}^{\infty} q^n \cos(nx) = \frac{1-q\cos x}{1-2q\cos x + q^2}\]变量说明:
- q: 参数
- x: 变量
| 适用条件: | q | < 1, | x | < +∞ |
备注: 几何级数的余弦加权
推导: 几何级数与欧拉公式
标签: 常用公式
常用求和公式 65
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sin(nx) = \frac{q\sin x}{1-2q\cos x + q^2}\]变量说明:
- q: 参数
- x: 变量
| 适用条件: | q | < 1, | x | < +∞ |
备注: 几何级数的正弦加权
推导: 几何级数与欧拉公式
标签: 常用公式
常用求和公式 66
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^n\cos(nx)}{n} = -\frac{1}{2} \ln(1-2q\cos x + q^2)\]变量说明:
- q: 参数
- x: 变量
| 适用条件: | q | < 1, | x | < +∞ |
备注: 几何级数的余弦加权积分
推导: 对几何级数积分
标签: 常用公式
常用求和公式 67
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^n\sin(nx)}{n} = \arctan\left(\frac{q\sin x}{1-q\cos x}\right)\]变量说明:
- q: 参数
- x: 变量
| 适用条件: | q | < 1, | x | < +∞ |
备注: 几何级数的正弦加权积分
推导: 对几何级数积分
标签: 常用公式
常用求和公式 68
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^2 + n^2\pi^2} = \frac{\coth x}{2} - \frac{1}{2x}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x ≠ 0
备注: 涉及双曲余切函数的级数
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用求和公式 69
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x}{x^2 + n^2\pi^2} = \frac{1}{2\sinh x} - \frac{1}{2x}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x ≠ 0
备注: 涉及双曲正弦函数的级数
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用求和公式 70
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^2 - n^2\pi^2} = \frac{\cot x}{2} - \frac{1}{2x}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x ≠ nπ, n = 0, ±1, …
备注: 涉及余切函数的级数
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用求和公式 71
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x}{x^2 - n^2\pi^2} = \frac{1}{2\sin x} - \frac{1}{2x}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x ≠ nπ, n = 0, ±1, …
备注: 涉及正弦函数的级数
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用求和公式 72
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^2 - (n-1/2)^2\pi^2} = -\frac{\tan x}{2}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x ≠ (n-1/2)π, n = 0, ±1, …
备注: 涉及正切函数的级数
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用求和公式 73
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^2 + (n-1/2)^2\pi^2} = \frac{\tanh x}{2}\]变量说明:
- x: 变量
适用条件: x为实数
备注: 涉及双曲正切函数的级数
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用求和公式 74
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2 + 4} = \frac{\pi\tanh(\pi)}{8} = 0.391235...\]适用条件: 级数收敛
备注: 常数级数求和
推导: 复分析
标签: 常用公式
常用求和公式 75
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} = \frac{(2\pi)^{2k}B_k}{2(2k)!}\]变量说明:
- k: 正整数
- B_k: 第k个伯努利数
适用条件: k = 1, 2, …
备注: 黎曼ζ函数在偶数点的值
推导: 欧拉公式
标签: 常用公式
常用求和公式 76
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449...\]适用条件: 级数收敛
备注: 巴塞尔问题，π²/6的级数表示
推导: 公式75°中令k=1
标签: 常用公式, 必背公式
常用求和公式 77
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} = 1.082323...\]适用条件: 级数收敛
备注: π⁴/90的级数表示
推导: 公式75°中令k=2
标签: 常用公式
常用求和公式 78
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} = 0.822467...\]适用条件: 级数收敛
备注: π²/12的级数表示
推导: 从ζ(2)推导
标签: 常用公式
常用求和公式 79
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^2} = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x} dx = 0.915965...\]适用条件: 级数收敛
备注: 卡特兰常数G的级数表示
推导: 积分表示
标签: 常用公式
常用求和公式 80
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6} = \frac{\pi^6}{945} = 1.01734...\]适用条件: 级数收敛
备注: π⁶/945的级数表示
推导: 公式75°中令k=3
标签: 常用公式
常用求和公式 81
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n} = \int_0^1 x^{-x} dx = 1.29128...\]适用条件: 级数收敛
备注: 索菲-日耳曼常数的级数表示
推导: 积分表示
标签: 常用公式
常用求和公式 82
公式:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+m)} = \frac{1}{m}\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{m}\right)\]变量说明:
- m: 正整数
适用条件: m为正整数
备注: 调和级数的推广
推导: 部分分式分解
标签: 常用公式
欧拉-麦克劳林公式
公式:
\[\sum_{n=a}^{b} f(n) = \int_a^b f(x) dx + \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b) - f^{(2k-1)}(a))\]变量说明:
- a, b: 整数
- f(x): 函数
- B_n: 第n个伯努利数
适用条件: a与b均为整数
备注: 欧拉-麦克劳林公式(Euler-Maclaurin formula)，其中B_n表示第n个伯努利数(Bernoulli number)
推导: 欧拉-麦克劳林公式
标签: 定理, 必背公式