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本文档包含 46 个公式。
天文学-天体力学
逃逸速度
公式:
\[v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2} \cdot v_0\]变量说明:
- vₑ: 逃逸速度 (单位: m/s)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- r: 距离中心天体的距离 (单位: m)
- v₀: 该距离处的圆形轨道速度 (单位: m/s)
适用条件: 从距离r处逃逸到无穷远
备注: 逃逸速度是使物体能够摆脱中心天体引力束缚的最小速度。等于该距离处圆形轨道速度的√2倍。当速度大于逃逸速度时，轨道为双曲线
推导: 由能量守恒：动能 = 引力势能，即(1/2)mv² = GMm/r，得 v = √(2GM/r)
标签: 常用公式, 必背公式
圆形轨道速度
公式:
\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]变量说明:
- v: 轨道速度 (单位: m/s)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- r: 轨道半径 (单位: m)
适用条件: 圆形轨道
备注: 圆形轨道速度公式。轨道速度只与中心天体质量和轨道半径有关，与轨道天体质量无关
推导: 由万有引力等于向心力：GMm/r² = mv²/r，得 v = √(GM/r)
标签: 常用公式, 必背公式
开普勒第一定律（椭圆轨道定律）
公式:
\[\text{行星轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上}\]变量说明:
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- b: 轨道半短轴 (单位: m)
- e: 偏心率 (单位: 0 ≤ e < 1)
- r: 距离 (单位: m)
- f: 真近点角 (单位: rad)
适用条件: 二体问题，中心天体质量远大于轨道天体
备注: 开普勒第一定律描述了行星的轨道形状。椭圆方程：r = a(1-e²)/(1+e·cos f)，其中e = √(1-b²/a²)
推导: 由牛顿万有引力定律和角动量守恒推导得出
标签: 必背公式, 定律
开普勒第二定律（面积定律）
公式:
\[\frac{dA}{dt} = \frac{h}{2} = \text{常数}, \quad \text{或} \quad r^2\frac{d\theta}{dt} = h = \text{常数}\]变量说明:
- A: 扫过面积 (单位: m²)
- t: 时间 (单位: s)
- h: 比角动量（单位质量角动量） (单位: m²/s)
- r: 距离 (单位: m)
- θ: 极角 (单位: rad)
适用条件: 二体问题，中心力场
备注: 开普勒第二定律说明：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。这是角动量守恒的体现。在近日点速度最大，在远日点速度最小
推导: 由角动量守恒定律推导：L = mr²(dθ/dt) = 常数，其中L为角动量，m为质量
标签: 必背公式, 定律
开普勒第三定律（调和定律）
公式:
\[\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M+m)} \approx \frac{4\pi^2}{GM}\]变量说明:
- T: 轨道周期 (单位: s)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- m: 轨道天体质量 (单位: kg)
适用条件: 椭圆轨道，当M » m时可简化为T²/a³ = 4π²/(GM)
备注: 行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。这是万有引力定律的直接结果。精确形式包含(M+m)，当中心天体质量远大于轨道天体时，可忽略m
推导: 由万有引力定律、角动量守恒和能量守恒联合推导
标签: 必背公式, 定律
圆形轨道速度
公式:
\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]变量说明:
- v: 轨道速度 (单位: m/s)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- r: 轨道半径 (单位: m)
适用条件: 圆形轨道
备注: 圆形轨道速度公式。轨道速度只与中心天体质量和轨道半径有关，与轨道天体质量无关
推导: 由万有引力等于向心力：GMm/r² = mv²/r，得 v = √(GM/r)
标签: 常用公式, 必背公式
椭圆轨道速度（一般形式）
公式:
\[v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)\]变量说明:
- v: 轨道速度 (单位: m/s)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- r: 当前距离 (单位: m)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
适用条件: 椭圆轨道
备注: 活力公式（vis-viva equation），适用于任意圆锥曲线轨道。当r = a（圆形轨道）时，退化为v = √(GM/r)。在近日点(r = a(1-e))速度最大，在远日点(r = a(1+e))速度最小
推导: 由轨道能量守恒和角动量守恒推导
标签: 常用公式
逃逸速度
公式:
\[v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2} \cdot v_0\]变量说明:
- vₑ: 逃逸速度 (单位: m/s)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- r: 距离中心天体的距离 (单位: m)
- v₀: 该距离处的圆形轨道速度 (单位: m/s)
适用条件: 从距离r处逃逸到无穷远
备注: 逃逸速度是使物体能够摆脱中心天体引力束缚的最小速度。等于该距离处圆形轨道速度的√2倍。当速度大于逃逸速度时，轨道为双曲线
推导: 由能量守恒：动能 = 引力势能，即(1/2)mv² = GMm/r，得 v = √(2GM/r)
标签: 常用公式, 必背公式
轨道总能量
公式:
\[E = -\frac{GMm}{2a} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}\]变量说明:
- E: 轨道总能量（单位质量能量为ε = E/m） (单位: J)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- m: 轨道天体质量 (单位: kg)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- v: 速度 (单位: m/s)
- r: 距离 (单位: m)
适用条件: 闭合轨道（椭圆，圆形）
备注: 轨道总能量为负值，说明是束缚轨道。圆形轨道时a = r，E = -GMm/(2r)。能量仅取决于半长轴a，与偏心率e无关。当E = 0时为抛物线轨道，E > 0时为双曲线轨道
推导: 由能量守恒：E = 动能 + 势能 = (1/2)mv² - GMm/r。结合活力公式可得 E = -GMm/(2a)
标签: 常用公式
比角动量（单位质量角动量）
公式:
\[h = |\mathbf{r} \times \mathbf{v}| = r^2\frac{d\theta}{dt} = \sqrt{GMp} = \sqrt{GMa(1-e^2)}\]变量说明:
- h: 比角动量 (单位: m²/s)
- r: 位置矢量 (单位: m)
- v: 速度矢量 (单位: m/s)
- θ: 极角 (单位: rad)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- p: 半正焦弦（半通径） (单位: m)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- e: 偏心率
适用条件: 任意轨道
备注: 比角动量h在中心力场中守恒。p = a(1-e²)为半正焦弦（半通径）。对于圆形轨道，e = 0，h = √(GMa)
推导: 角动量守恒：L = mr × v = mh = 常数。由轨道几何关系可得 h = √(GMp)
标签: 常用公式
轨道偏心率
公式:
\[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{h^2}{GMa}}\]变量说明:
- e: 偏心率 (单位: 0 ≤ e < 1（椭圆）)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- b: 轨道半短轴 (单位: m)
- h: 比角动量 (单位: m²/s)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
适用条件: 椭圆轨道：0 ≤ e < 1，圆形：e = 0，抛物线：e = 1，双曲线：e > 1
备注: 偏心率描述轨道的扁平程度。e = 0为圆形，e接近1为极扁椭圆。地球轨道e ≈ 0.0167，水星轨道e ≈ 0.206
推导: 由椭圆几何关系：b² = a²(1-e²)，结合角动量公式可得
标签: 常用公式
近日点和远日点距离
公式:
\[r_{\text{peri}} = a(1-e), \quad r_{\text{apo}} = a(1+e)\]变量说明:
- r_peri: 近日点距离 (单位: m)
- r_apo: 远日点距离 (单位: m)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- e: 偏心率
适用条件: 椭圆轨道
备注: 近日点（periapsis）是轨道上距离中心最近的点，远日点（apoapsis）是距离最远的点。半长轴 a = (r_peri + r_apo)/2
推导: 由椭圆极坐标方程 r = a(1-e²)/(1+e·cos f)，当f = 0时得近日点，f = π时得远日点
标签: 常用公式
洛希极限（潮汐瓦解半径）
公式:
\[d_{\text{Roche}} \approx 2.456 R_p \left(\frac{\rho_p}{\rho_s}\right)^{1/3}\]变量说明:
- d_Roche: 洛希极限 (单位: m)
- R_p: 主星半径 (单位: m)
- ρ_p: 主星密度 (单位: kg/m³)
- ρ_s: 卫星密度 (单位: kg/m³)
适用条件: 刚体卫星，轨道周期远大于卫星自转周期
备注: 洛希极限是卫星能够稳定存在而不被主星潮汐力撕碎的最小距离。当卫星进入洛希极限内时，会被潮汐力瓦解。对于流体卫星，系数约为2.456；对于刚体，系数约为1.260
推导: 由潮汐力与卫星自身引力平衡条件推导
标签: 常用公式
开普勒方程
公式:
\[M = E - e\sin E\]变量说明:
- M: 平近点角 (单位: rad)
- E: 偏近点角 (单位: rad)
- e: 偏心率 (单位: 0 ≤ e < 1)
适用条件: 椭圆轨道，0 ≤ e < 1
备注: 开普勒方程是连接平近点角M和偏近点角E的超越方程。平近点角M = n(t - t₀)，其中n为平均角速度，t₀为过近地点时刻。该方程无法用初等函数求解，通常用迭代法（如牛顿法）求解E
推导: 由椭圆轨道运动学和几何关系推导。平近点角是假设天体以平均角速度运动时的角度，偏近点角是辅助圆上对应的角度
标签: 常用公式, 必背公式
偏近点角与轨道半径的关系
公式:
\[r = a(1 - e\cos E)\]变量说明:
- r: 轨道半径（距离） (单位: m)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- e: 偏心率 (单位: 0 ≤ e < 1)
- E: 偏近点角 (单位: rad)
适用条件: 椭圆轨道，0 ≤ e < 1
备注: 用偏近点角表示轨道半径的公式。当E = 0时，r = a(1-e)为近地点距离；当E = π时，r = a(1+e)为远地点距离。这是椭圆轨道参数方程的一种形式
推导: 由椭圆几何和辅助圆方法推导。偏近点角E是辅助圆上对应的角度，通过几何投影关系得到轨道半径
标签: 常用公式, 必背公式
偏近点角与真近点角的转换关系
公式:
\[\tan\frac{f}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\cdot\tan\frac{E}{2}\]变量说明:
- f: 真近点角 (单位: rad)
- E: 偏近点角 (单位: rad)
- e: 偏心率 (单位: 0 ≤ e < 1)
适用条件: 椭圆轨道，0 ≤ e < 1
备注: 真近点角f是从近地点到当前位置的角度，偏近点角E是辅助圆上对应的角度。该公式用于在两者之间转换。当e = 0（圆形轨道）时，f = E
推导: 由椭圆几何和三角恒等式推导。通过辅助圆方法和半角公式得到转换关系
标签: 常用公式
偏近点角的坐标表示
公式:
\[x = a(\cos E - e), \quad y = b\sin E\]变量说明:
- x, y: 辅助圆坐标系中的坐标 (单位: m)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
- b: 轨道半短轴 (单位: m)
- e: 偏心率 (单位: 0 ≤ e < 1)
- E: 偏近点角 (单位: rad)
适用条件: 椭圆轨道，0 ≤ e < 1，坐标系原点在椭圆中心
备注: 在辅助圆坐标系中，偏近点角E对应的坐标。x轴沿椭圆长轴方向，y轴沿短轴方向。这是椭圆参数方程的标准形式，其中E为参数。当E = 0时，位于近地点；当E = π时，位于远地点
推导: 由椭圆参数方程推导。偏近点角E是辅助圆（半径为a的圆）上的角度，通过几何投影得到椭圆上的坐标
标签: 常用公式
平近点角定义
公式:
\[M = n(t - t_0)\]变量说明:
- M: 平近点角 (单位: rad)
- n: 平均角速度（平运动角速度） (单位: rad/s)
- t: 当前时刻 (单位: s)
- t₀: 过近地点时刻（历元） (单位: s)
适用条件: 椭圆轨道
备注: 平近点角是假设天体以平均角速度n做匀速圆周运动时，从近地点起算的角度。它是时间的线性函数，与偏近点角E通过开普勒方程M = E - e·sin E关联
推导: 由开普勒第三定律和平均角速度定义推导。平均角速度n = 2π/T，其中T为轨道周期
标签: 常用公式, 必背公式
平均角速度
公式:
\[n = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{GM}{a^3}}\]变量说明:
- n: 平均角速度（平运动角速度） (单位: rad/s)
- T: 轨道周期 (单位: s)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 中心天体质量 (单位: kg)
- a: 轨道半长轴 (单位: m)
适用条件: 椭圆轨道，M » m（中心天体质量远大于轨道天体）
备注: 平均角速度是平近点角的变化率。第一个等式是定义式，第二个等式由开普勒第三定律T²/a³ = 4π²/(GM)推导得出。平均角速度只与中心天体质量和轨道半长轴有关
推导: 由开普勒第三定律T²/a³ = 4π²/(GM)和平均角速度定义n = 2π/T推导：n² = (2π/T)² = 4π²/T² = 4π²/(a³·4π²/(GM)) = GM/a³，因此n = √(GM/a³)
标签: 常用公式, 必背公式
天文学-宇宙学
哈勃定律
公式:
\[v = H_0 d\]变量说明:
- v: 退行速度 (单位: km/s)
- H₀: 哈勃常数 (单位: 约70 km/s/Mpc)
- d: 距离 (单位: Mpc（百万秒差距）)
适用条件: 大尺度上，宇宙均匀膨胀
备注: 哈勃定律表明宇宙正在膨胀，星系退行速度与距离成正比。H₀的当前最佳估计值约为70 km/s/Mpc。这导致宇宙学红移：z = H₀d/c（非相对论近似）
推导: 由观测发现，基于多普勒效应和距离测量
标签: 常用公式, 必背公式, 定律
哈勃定律
公式:
\[v = H_0 d\]变量说明:
- v: 退行速度 (单位: km/s)
- H₀: 哈勃常数 (单位: 约70 km/s/Mpc)
- d: 距离 (单位: Mpc（百万秒差距）)
适用条件: 大尺度上，宇宙均匀膨胀
备注: 哈勃定律表明宇宙正在膨胀，星系退行速度与距离成正比。H₀的当前最佳估计值约为70 km/s/Mpc。这导致宇宙学红移：z = H₀d/c（非相对论近似）
推导: 由观测发现，基于多普勒效应和距离测量
标签: 常用公式, 必背公式, 定律
天文学-相对论
史瓦西半径（黑洞视界）
公式:
\[R_s = \frac{2GM}{c^2}\]变量说明:
- R_s: 史瓦西半径 (单位: m)
- G: 万有引力常数 (单位: 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- M: 质量 (单位: kg)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
适用条件: 非旋转、不带电的黑洞
备注: 史瓦西半径是黑洞的视界半径。当物体压缩到这个半径以内时，即使光也无法逃逸。太阳的史瓦西半径约3 km，地球的约9 mm
推导: 由广义相对论的史瓦西度规推导，使逃逸速度等于光速
标签: 常用公式
天文学-观测
多普勒效应（径向速度）
公式:
\[\frac{v_r}{c} = \frac{\lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{rest}}}{\lambda_{\text{rest}}} = z\]变量说明:
- v_r: 径向速度（沿视线方向） (单位: m/s)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
- λ_obs: 观测到的波长 (单位: m)
- λ_rest: 静止波长（实验室值） (单位: m)
- z: 红移（z > 0为红移，z < 0为蓝移）
适用条件: 非相对论近似（v_r « c）
备注: 当v_r « c时，z ≈ v_r/c。当速度接近光速时，需要使用相对论多普勒效应：z = √((1+β)/(1-β)) - 1，其中β = v_r/c
推导: 由多普勒效应：当源远离观测者时，波长变长（红移）；当源靠近时，波长变短（蓝移）
标签: 常用公式, 必背公式
星等与亮度关系
公式:
\[m_1 - m_2 = -2.5\lg\left(\frac{F_1}{F_2}\right)\]变量说明:
- m₁, m₂: 视星等 (单位: 等)
- F₁, F₂: 能流（亮度） (单位: W/m²或任意单位)
适用条件: 使用相同的观测波段
备注: 星等系统：星等每差5等，亮度差100倍（10²倍）。因此每差1等，亮度比约为2.512倍（100^(1/5)）。星等越小，亮度越大
推导: 由星等定义：m = -2.5lg(F/F₀) + 常数，其中F₀为参考亮度
标签: 常用公式, 必背公式
视差与距离关系
公式:
\[d = \frac{1}{\pi}\]变量说明:
- d: 距离 (单位: pc（秒差距）)
- π: 周年视差 (单位: 角秒(arcsec))
适用条件: π以角秒为单位，d以秒差距为单位
备注: 当视差π = 1角秒时，距离d = 1秒差距(pc)。1 pc = 3.086×10¹⁶ m = 3.26 光年。这是测量恒星距离最基本的方法
推导: 由三角视差定义：当基线为1 AU，视差角为1角秒时，距离定义为1秒差距
标签: 常用公式, 必背公式
视星等与绝对星等关系
公式:
\[m - M = 5\lg(d) - 5\]变量说明:
- m: 视星等 (单位: 等)
- M: 绝对星等 (单位: 等)
- d: 距离 (单位: pc（秒差距）)
适用条件: d以秒差距(pc)为单位
备注: 距离模数公式。视星等m是观测到的亮度，绝对星等M是距离10 pc处的视星等。星等越小，亮度越大。每差5个星等，亮度差100倍
推导: 由亮度与距离平方反比关系和对数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
视星等与绝对星等关系
公式:
\[m - M = 5\lg(d) - 5\]变量说明:
- m: 视星等 (单位: 等)
- M: 绝对星等 (单位: 等)
- d: 距离 (单位: pc（秒差距）)
适用条件: d以秒差距(pc)为单位
备注: 距离模数公式。视星等m是观测到的亮度，绝对星等M是距离10 pc处的视星等。星等越小，亮度越大。每差5个星等，亮度差100倍
推导: 由亮度与距离平方反比关系和对数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
距离模数
公式:
\[\mu = m - M = 5\lg(d/\text{pc}) - 5\]变量说明:
- μ: 距离模数 (单位: 等)
- m: 视星等 (单位: 等)
- M: 绝对星等 (单位: 等)
- d: 距离 (单位: pc（秒差距）)
适用条件: d以秒差距为单位
备注: 距离模数μ = m - M，用于通过视星等和绝对星等确定距离，或通过距离确定绝对星等
推导: 由视星等与绝对星等关系式
标签: 常用公式
视差与距离关系
公式:
\[d = \frac{1}{\pi}\]变量说明:
- d: 距离 (单位: pc（秒差距）)
- π: 周年视差 (单位: 角秒(arcsec))
适用条件: π以角秒为单位，d以秒差距为单位
备注: 当视差π = 1角秒时，距离d = 1秒差距(pc)。1 pc = 3.086×10¹⁶ m = 3.26 光年。这是测量恒星距离最基本的方法
推导: 由三角视差定义：当基线为1 AU，视差角为1角秒时，距离定义为1秒差距
标签: 常用公式, 必背公式
光度与亮度关系
公式:
\[F = \frac{L}{4\pi d^2}\]变量说明:
- F: 能流（观测到的亮度） (单位: W/m²)
- L: 光度（总辐射功率） (单位: W)
- d: 距离 (单位: m)
适用条件: 各向同性辐射
备注: 光度L是恒星的总辐射功率，能流F是单位面积接收到的功率。由于能量在球面上扩散，F与距离的平方成反比
推导: 由能量守恒：总功率L在距离d处的球面(4πd²)上均匀分布，因此 F = L/(4πd²)
标签: 常用公式
星等与亮度关系
公式:
\[m_1 - m_2 = -2.5\lg\left(\frac{F_1}{F_2}\right)\]变量说明:
- m₁, m₂: 视星等 (单位: 等)
- F₁, F₂: 能流（亮度） (单位: W/m²或任意单位)
适用条件: 使用相同的观测波段
备注: 星等系统：星等每差5等，亮度差100倍（10²倍）。因此每差1等，亮度比约为2.512倍（100^(1/5)）。星等越小，亮度越大
推导: 由星等定义：m = -2.5lg(F/F₀) + 常数，其中F₀为参考亮度
标签: 常用公式, 必背公式
多普勒效应（径向速度）
公式:
\[\frac{v_r}{c} = \frac{\lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{rest}}}{\lambda_{\text{rest}}} = z\]变量说明:
- v_r: 径向速度（沿视线方向） (单位: m/s)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
- λ_obs: 观测到的波长 (单位: m)
- λ_rest: 静止波长（实验室值） (单位: m)
- z: 红移（z > 0为红移，z < 0为蓝移）
适用条件: 非相对论近似（v_r « c）
备注: 当v_r « c时，z ≈ v_r/c。当速度接近光速时，需要使用相对论多普勒效应：z = √((1+β)/(1-β)) - 1，其中β = v_r/c
推导: 由多普勒效应：当源远离观测者时，波长变长（红移）；当源靠近时，波长变短（蓝移）
标签: 常用公式, 必背公式
相对论多普勒效应
公式:
\[z = \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} - 1, \quad \text{其中}\quad \beta = \frac{v_r}{c}\]变量说明:
- z: 红移
- β: 速度与光速的比值
- v_r: 径向速度 (单位: m/s)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
适用条件: 任意速度
备注: 相对论多普勒效应的精确公式。当β « 1时，退化为z ≈ β = v_r/c。当β接近1时（接近光速），红移会非常大
推导: 由狭义相对论推导，考虑时间膨胀和长度收缩
标签: 常用公式
热力学
热力学第一定律
公式:
\[\Delta U = Q - W\]变量说明:
- ΔU: 内能变化 (单位: J)
- Q: 系统吸收的热量 (单位: J)
- W: 系统对外做的功 (单位: J)
备注: 能量守恒定律在热力学中的表达
推导: 热力学第一定律
标签: 常用公式, 必背公式
熵的定义
公式:
\[dS = \frac{dQ}{T} \quad \text{（可逆过程）}\]变量说明:
- S: 熵 (单位: J/K)
- Q: 热量 (单位: J)
- T: 温度 (单位: K)
适用条件: 可逆过程
备注: 熵是系统无序度的量度
推导: 热力学第二定律
标签: 常用公式, 必背公式
卡诺效率
公式:
\[\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}\]变量说明:
- η: 热机效率
- T₁: 高温热源温度 (单位: K)
- T₂: 低温热源温度 (单位: K)
适用条件: 卡诺循环
备注: 理想热机的最大效率
推导: 卡诺定理
标签: 常用公式, 必背公式
电学
麦克斯韦方程组 - 微分形式
公式:
\[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\]变量说明:
- E: 电场强度 (单位: V/m)
- B: 磁感应强度 (单位: T)
- ρ: 电荷密度 (单位: C/m³)
- J: 电流密度 (单位: A/m²)
- ε₀: 真空介电常数 (单位: 8.85×10⁻¹² C²/(N·m²))
- μ₀: 真空磁导率 (单位: 4π×10⁻⁷ N/A²)
适用条件: 真空中，适用于宏观电磁场
备注: 麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律：1) 高斯定律（电场）：电场散度等于电荷密度除以介电常数；2) 高斯定律（磁场）：磁场散度为零，说明不存在磁单极子；3) 法拉第电磁感应定律：电场旋度等于负的磁场时间变化率；4) 安培环路定律（含修正项）：磁场旋度等于电流密度加上位移电流密度
推导: 由库仑定律、安培定律、法拉第定律等实验定律总结，麦克斯韦添加了位移电流项
标签: 常用公式, 必背公式
麦克斯韦方程组 - 积分形式
公式:
\[\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}, \quad \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0, \quad \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}, \quad \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}\]变量说明:
- E: 电场强度 (单位: V/m)
- B: 磁感应强度 (单位: T)
- Q: 闭合曲面内的总电荷 (单位: C)
- I: 穿过闭合回路的电流 (单位: A)
- ΦB: 磁通量 (单位: Wb)
- ΦE: 电通量 (单位: V·m)
- ε₀: 真空介电常数 (单位: 8.85×10⁻¹² C²/(N·m²))
- μ₀: 真空磁导率 (单位: 4π×10⁻⁷ N/A²)
适用条件: 真空中，适用于宏观电磁场
备注: 麦克斯韦方程组的积分形式：1) 高斯定律（电场）：通过闭合曲面的电通量等于曲面内电荷除以介电常数；2) 高斯定律（磁场）：通过闭合曲面的磁通量为零；3) 法拉第电磁感应定律：电场沿闭合回路的积分等于负的磁通量变化率；4) 安培环路定律（含修正项）：磁场沿闭合回路的积分等于电流加上位移电流
推导: 由微分形式通过高斯定理和斯托克斯定理推导得出
标签: 常用公式, 必背公式
相对论
相对论时间膨胀
公式:
\[\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\]变量说明:
- Δt: 运动参考系中的时间 (单位: s)
- Δt₀: 静止参考系中的时间（固有时） (单位: s)
- v: 相对速度 (单位: m/s)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
适用条件: v < c
备注: 运动时钟变慢效应
推导: 狭义相对论
标签: 常用公式, 必背公式
相对论长度收缩
公式:
\[L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}\]变量说明:
- L: 运动参考系中的长度 (单位: m)
- L₀: 静止参考系中的长度（固有长度） (单位: m)
- v: 相对速度 (单位: m/s)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
适用条件: v < c
备注: 运动物体在运动方向上长度缩短
推导: 狭义相对论
标签: 常用公式, 必背公式
质能关系
公式:
\[E = mc^2\]变量说明:
- E: 能量 (单位: J)
- m: 质量 (单位: kg)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
备注: 爱因斯坦质能关系式，质量和能量的等价性
推导: 狭义相对论
标签: 常用公式, 必背公式
相对论动能
公式:
\[E_k = mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1\right)\]变量说明:
- Ek: 相对论动能 (单位: J)
- m: 静质量 (单位: kg)
- v: 速度 (单位: m/s)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
适用条件: v < c
备注: 当v « c时，近似为经典动能 Ek ≈ ½mv²
推导: 由相对论总能量和静能推导
标签: 常用公式, 必背公式
相对论质能方程（完整形式）
公式:
\[E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\]变量说明:
- E: 总能量 (单位: J)
- p: 动量 (单位: kg·m/s)
- m: 静质量 (单位: kg)
- c: 光速 (单位: 3×10⁸ m/s)
备注: 相对论质能方程的完整形式。当 p = 0（静止粒子）时，退化为 E = mc²。当 m = 0（光子等无质量粒子）时，E = pc。这是狭义相对论中最重要的公式之一
推导: 由相对论动量和能量关系推导：E = γmc², p = γmv，其中 γ = 1/√(1-v²/c²)。通过代数运算可得 E² - (pc)² = (mc²)²，即 E² = (pc)² + (mc²)²
标签: 常用公式, 必背公式
量子力学
德布罗意波长
公式:
\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}\]变量说明:
- λ: 德布罗意波长 (单位: m)
- h: 普朗克常数 (单位: 6.626×10⁻³⁴ J·s)
- p: 动量 (单位: kg·m/s)
- m: 质量 (单位: kg)
- v: 速度 (单位: m/s)
备注: 物质波波长与动量的关系
推导: 德布罗意假设
标签: 常用公式, 必背公式
不确定性原理
公式:
\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]变量说明:
- Δx: 位置不确定度 (单位: m)
- Δp: 动量不确定度 (单位: kg·m/s)
- ℏ: 约化普朗克常数 (单位: h/(2π) = 1.055×10⁻³⁴ J·s)
备注: 位置和动量不能同时精确测量
推导: 海森堡不确定性原理
标签: 常用公式, 必背公式
薛定谔方程（一维）
公式:
\[i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V\psi\]变量说明:
- ψ: 波函数
- V: 势能 (单位: J)
- m: 质量 (单位: kg)
- ℏ: 约化普朗克常数 (单位: 1.055×10⁻³⁴ J·s)
备注: 量子力学的基本方程，描述微观粒子的运动
推导: 薛定谔方程
标签: 常用公式, 必背公式