积分表 - 数学

本文档包含 22 个公式。

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高等数学-积分

有理函数积分表 - 基本形式

公式:

\[\int \frac{1}{x-a} dx = \ln|x-a| + C, \quad \int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C, \quad \int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\]

变量说明:

• a: 常数
• C: 积分常数

适用条件: a ≠ 0

备注: 有理函数积分的基本形式

推导: 直接积分或换元法

标签: 常用公式, 必背公式

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有理函数积分表 - 高次形式

公式:

\[\int \frac{1}{(x-a)^n} dx = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n>1), \quad \int \frac{x}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+a^2) + C\]

变量说明:

• a: 常数
• n: 正整数
• C: 积分常数

适用条件: n > 1

备注: 有理函数的高次幂积分

推导: 直接积分

标签: 常用公式

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无理函数积分表 - 根式形式

公式:

\[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C, \quad \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C, \quad \int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C\]

变量说明:

• a: 常数
• C: 积分常数

适用条件: a > 0,

x

> a（对于√(x²-a²)）

备注: 含根式的无理函数积分

推导: 三角换元法或分部积分法

标签: 常用公式, 必背公式

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无理函数积分表 - 线性根式

公式:

\[\int \sqrt{ax+b} dx = \frac{2}{3a}(ax+b)^{3/2} + C, \quad \int \frac{1}{\sqrt{ax+b}} dx = \frac{2}{a}\sqrt{ax+b} + C\]

变量说明:

• a, b: 常数
• C: 积分常数

适用条件: a ≠ 0, ax+b > 0

备注: 线性根式函数的积分

推导: 换元法

标签: 常用公式

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三角函数积分表 - 完整版

公式:

\[\int \sin x dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x dx = \sin x + C, \quad \int \sec^2 x dx = \tan x + C, \quad \int \csc^2 x dx = -\cot x + C, \quad \int \sec x \tan x dx = \sec x + C, \quad \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C\]

变量说明:

• x: 变量
• C: 积分常数

备注: 完整的三角函数积分表

推导: 由导数公式逆推

标签: 常用公式, 必背公式

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三角函数积分表 - 乘积形式

公式:

\[\int \sin mx \sin nx dx = \frac{\sin(m-n)x}{2(m-n)} - \frac{\sin(m+n)x}{2(m+n)} + C, \quad \int \cos mx \cos nx dx = \frac{\sin(m-n)x}{2(m-n)} + \frac{\sin(m+n)x}{2(m+n)} + C, \quad \int \sin mx \cos nx dx = -\frac{\cos(m-n)x}{2(m-n)} - \frac{\cos(m+n)x}{2(m+n)} + C\]

变量说明:

• m, n: 常数
• x: 变量
• C: 积分常数

适用条件: m ≠ n

备注: 三角函数乘积的积分，利用积化和差公式

推导: 积化和差公式

标签: 常用公式

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指数函数积分表 - 完整版

公式:

\[\int e^x dx = e^x + C, \quad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad \int e^{kx} dx = \frac{e^{kx}}{k} + C, \quad \int x e^x dx = e^x(x-1) + C, \quad \int x^2 e^x dx = e^x(x^2-2x+2) + C\]

变量说明:

• a: 底数
• k: 常数
• C: 积分常数

适用条件: a > 0, a ≠ 1, k ≠ 0

备注: 完整的指数函数积分表，包括与多项式乘积的积分

推导: 直接积分或分部积分法

标签: 常用公式, 必背公式

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对数函数积分表 - 完整版

公式:

\[\int \ln x dx = x\ln x - x + C, \quad \int \log_a x dx = x\left(\log_a x - \frac{1}{\ln a}\right) + C, \quad \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2}\left(\ln x - \frac{1}{2}\right) + C, \quad \int x^n \ln x dx = x^{n+1}\left[\frac{\ln x}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2}\right] + C\]

变量说明:

• a: 底数
• n: 指数
• C: 积分常数

适用条件: x > 0, a > 0, a ≠ 1, n ≠ -1

备注: 完整的对数函数积分表，包括与多项式乘积的积分

推导: 分部积分法

标签: 常用公式, 必背公式

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反三角函数积分表 - 直接积分

公式:

\[\int \arcsin x dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C, \quad \int \arccos x dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C, \quad \int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\]

变量说明:

• x: 变量
• C: 积分常数

适用条件:

x

≤ 1（arcsin, arccos）

备注: 反三角函数的直接积分公式

推导: 分部积分法

标签: 常用公式, 必背公式

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反三角函数积分表 - 其他形式

公式:

\[\int \text{arccot} x dx = x\text{arccot} x + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C, \quad \int \text{arcsec} x dx = x\text{arcsec} x - \ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C, \quad \int \text{arccsc} x dx = x\text{arccsc} x + \ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C\]

变量说明:

• x: 变量
• C: 积分常数

适用条件:

x

≥ 1（arcsec, arccsc）

备注: 其他反三角函数的积分

推导: 分部积分法

标签: 常用公式

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双曲函数积分表 - 完整版

公式:

\[\int \sinh x dx = \cosh x + C, \quad \int \cosh x dx = \sinh x + C, \quad \int \tanh x dx = \ln(\cosh x) + C, \quad \int \coth x dx = \ln|\sinh x| + C, \quad \int \text{sech} x dx = 2\arctan(e^x) + C, \quad \int \text{csch} x dx = \ln|\tanh(x/2)| + C\]

变量说明:

• x: 变量
• C: 积分常数

适用条件: x ≠ 0（coth, csch）

备注: 完整的双曲函数积分表

推导: 由双曲函数导数公式逆推

标签: 常用公式, 必背公式

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反双曲函数积分表

公式:

\[\int \text{arsinh} x dx = x\text{arsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C, \quad \int \text{arcosh} x dx = x\text{arcosh} x - \sqrt{x^2-1} + C, \quad \int \text{artanh} x dx = x\text{artanh} x + \frac{1}{2}\ln(1-x^2) + C\]

变量说明:

• x: 变量
• C: 积分常数

适用条件: x ≥ 1（arcosh），

x

< 1（artanh）

备注: 反双曲函数的积分公式，arsinh x = ln(x+√(x²+1))，arcosh x = ln(x+√(x²-1))，artanh x = (1/2)ln[(1+x)/(1-x)]

推导: 分部积分法

标签: 常用公式, 必背公式

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反双曲函数积分表 - 其他形式

公式:

\[\int \text{arcoth} x dx = x\text{arcoth} x + \frac{1}{2}\ln(x^2-1) + C, \quad \int \text{arsech} x dx = x\text{arsech} x + \arcsin x + C, \quad \int \text{arcsch} x dx = x\text{arcsch} x + \text{arsinh} x + C\]

变量说明:

• x: 变量
• C: 积分常数

适用条件:

x

> 1（arcoth），0 < x ≤ 1（arsech），x ≠ 0（arcsch）

备注: 其他反双曲函数的积分

推导: 分部积分法

标签: 常用公式

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三角函数积分表 - 高次幂

公式:

\[\int \sin^n x dx = -\frac{\sin^{n-1}x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x dx, \quad \int \cos^n x dx = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x dx\]

变量说明:

• n: 正整数
• x: 变量

适用条件: n ≥ 2

备注: 三角函数高次幂的递推积分公式

推导: 分部积分法

标签: 常用公式

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三角函数积分表 - 其他形式

公式:

\[\int \tan^n x dx = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - \int \tan^{n-2}x dx, \quad \int \cot^n x dx = -\frac{\cot^{n-1}x}{n-1} - \int \cot^{n-2}x dx, \quad \int \sec^n x dx = \frac{\sec^{n-2}x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}x dx\]

变量说明:

• n: 正整数
• x: 变量

适用条件: n ≥ 2

备注: 正切、余切、正割高次幂的递推积分公式

推导: 分部积分法或恒等变换

标签: 常用公式

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有理函数积分表 - 其他形式

公式:

\[\int \frac{x}{(x^2+a^2)^n} dx = -\frac{1}{2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}} + C, \quad \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx = \frac{x}{2(n-1)a^2(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2(n-1)a^2}\int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}} dx\]

变量说明:

• a: 常数
• n: 正整数

适用条件: n ≥ 2, a ≠ 0

备注: 有理函数高次幂的递推积分公式

推导: 分部积分法

标签: 常用公式

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无理函数积分表 - 其他根式

公式:

\[\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C, \quad \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}| + C, \quad \int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\]

变量说明:

• a: 常数
• x: 变量

适用条件: a > 0,

x

< a（对于√(a²-x²)），

x

> a（对于√(x²-a²)）

备注: 其他形式的根式积分

推导: 三角换元法

标签: 常用公式

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常见定积分值

公式:

\[\int_0^{\pi} \sin x dx = 2, \quad \int_0^{\pi/2} \sin x dx = 1, \quad \int_0^{\infty} e^{-x} dx = 1, \quad \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}, \quad \int_0^1 x^n(1-x)^m dx = \frac{n!m!}{(n+m+1)!}\]

变量说明:

• n, m: 非负整数

备注: 常用的定积分值，包括欧拉积分

推导: 直接计算或利用特殊函数

标签: 常用公式, 必背公式

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含绝对值的积分

公式:

\[\int |x-a| dx = \frac{(x-a)|x-a|}{2} + C, \quad \int |f(x)| dx = \begin{cases} \int f(x)dx & f(x) \geq 0 \\ -\int f(x)dx & f(x) < 0 \end{cases}\]

变量说明:

• a: 常数
• f(x): 函数

备注: 含绝对值函数的积分，需要分段处理

推导: 分段积分

标签: 常用公式

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分式积分 - 其他形式

公式:

\[\int \frac{1}{x^2+px+q} dx = \frac{2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C \quad (p^2<4q), \quad \int \frac{ax+b}{x^2+px+q} dx = \frac{a}{2}\ln(x^2+px+q) + \frac{b-ap/2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C\]

变量说明:

• a, b, p, q: 常数

适用条件: p² < 4q（判别式小于0）

备注: 二次分式的积分，当判别式小于0时

推导: 配方法

标签: 常用公式

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指数与三角函数的积分

公式:

\[\int e^{ax} \sin bx dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C, \quad \int e^{ax} \cos bx dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2} + C\]

变量说明:

• a, b: 常数
• x: 变量

适用条件: a²+b² ≠ 0

备注: 指数函数与三角函数乘积的积分

推导: 分部积分法（两次）

标签: 常用公式

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双曲函数积分表 - 其他形式

公式:

\[\int \text{sech}^2 x dx = \tanh x + C, \quad \int \text{csch}^2 x dx = -\coth x + C, \quad \int \text{sech} x \tanh x dx = -\text{sech} x + C, \quad \int \text{csch} x \coth x dx = -\text{csch} x + C\]

变量说明:

• x: 变量
• C: 积分常数

适用条件: x ≠ 0（csch, coth）

备注: 双曲函数其他形式的积分

推导: 由双曲函数导数公式逆推

标签: 常用公式

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