高中 - 数学
本文档包含 32 个公式。
三角函数
正弦函数
公式:
\[y = \sin x\]变量说明:
- x: 角度（弧度） (单位: rad)
- y: 函数值
备注: 周期为 2π，值域为 [-1, 1]
推导: 三角函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
余弦函数
公式:
\[y = \cos x\]变量说明:
- x: 角度（弧度） (单位: rad)
- y: 函数值
备注: 周期为 2π，值域为 [-1, 1]
推导: 三角函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
正切函数
公式:
\[y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\]变量说明:
- x: 角度（弧度） (单位: rad)
- y: 函数值
适用条件: x ≠ π/2 + kπ (k为整数)
备注: 周期为 π，值域为 (-∞, +∞)
推导: 由正弦和余弦函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
同角三角函数基本关系
公式:
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \quad \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]变量说明:
- α: 角度 (单位: 度或弧度)
备注: 平方关系：sin²α + cos²α = 1；商数关系：tan α = sin α / cos α
推导: 由单位圆和三角函数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
两角和公式
公式:
\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta, \quad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]变量说明:
- α, β: 角度 (单位: 度或弧度)
备注: 两角和与差的正弦、余弦公式
推导: 由单位圆和向量方法推导
标签: 常用公式, 必背公式
两角差公式
公式:
\[\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\]变量说明:
- α, β: 角度 (单位: 度或弧度)
适用条件: 1 ∓ tan α tan β ≠ 0
备注: 两角和与差的正切公式
推导: 由两角和公式和正切定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
二倍角公式
公式:
\[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha, \quad \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\]变量说明:
- α: 角度 (单位: 度或弧度)
适用条件: 1 - tan²α ≠ 0
备注: 二倍角的正弦、余弦、正切公式
推导: 由两角和公式推导（令 β = α）
标签: 常用公式, 必背公式
半角公式
公式:
\[\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}, \quad \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}, \quad \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}\]变量说明:
- α: 角度 (单位: 度或弧度)
适用条件: 1 + cos α ≠ 0
备注: 半角的正弦、余弦、正切公式
推导: 由二倍角公式推导
标签: 常用公式, 必背公式
诱导公式
公式:
\[\sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \cos \alpha, \quad \cos(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp \sin \alpha, \quad \sin(\pi \pm \alpha) = \mp \sin \alpha, \quad \cos(\pi \pm \alpha) = -\cos \alpha\]变量说明:
- α: 角度 (单位: 度或弧度)
备注: 利用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数
推导: 由单位圆和三角函数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
正弦定理
公式:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]变量说明:
- a, b, c: 三角形的三边 (单位: 长度单位)
- A, B, C: 三角形的三个角 (单位: 度或弧度)
- R: 外接圆半径 (单位: 长度单位)
适用条件: 适用于任意三角形
备注: 三角形的各边与其对角的正弦值之比相等，且等于外接圆直径
推导: 由三角形面积公式和圆的性质推导
标签: 常用公式, 必背公式
余弦定理
公式:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]变量说明:
- a, b, c: 三角形的三边 (单位: 长度单位)
- A: 边a的对角 (单位: 度或弧度)
适用条件: 适用于任意三角形
备注: 勾股定理的推广，当 A = 90° 时，cos A = 0，即勾股定理
推导: 由向量方法或坐标法推导
标签: 常用公式, 必背公式
积化和差公式
公式:
\[\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)], \quad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)], \quad \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)], \quad \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)]\]变量说明:
- α, β: 角度 (单位: 度或弧度)
备注: 将两个三角函数的乘积化为和或差的形式，常用于积分计算和化简
推导: 由两角和与差的正弦、余弦公式推导：sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β, sin(α-β) = sin α cos β - cos α sin β，两式相加或相减即可得到
标签: 常用公式, 必背公式
和差化积公式
公式:
\[\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \quad \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}, \quad \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \quad \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\]变量说明:
- α, β: 角度 (单位: 度或弧度)
备注: 将两个三角函数的和或差化为乘积的形式，常用于化简和求解三角方程
推导: 由积化和差公式逆推，或直接由两角和与差公式推导：设 α = (α+β)/2 + (α-β)/2, β = (α+β)/2 - (α-β)/2，代入两角和与差公式即可得到
标签: 常用公式, 必背公式
代数
一元二次方程求根公式
公式:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]变量说明:
- a: 二次项系数
- b: 一次项系数
- c: 常数项
适用条件: a ≠ 0，且判别式 Δ = b²-4ac ≥ 0
备注: 当 Δ < 0 时，方程无实数解。
极限情形：当 a→0 时，方程 ax²+bx+c=0 退化为一次方程 bx+c=0，因此 x = -c/b（b≠0）。
也可通过洛必达法则验证：对 x = (-b+√(b²-4ac))/(2a) 在 a→0 时应用洛必达法则（设 b>0），分子对 a 求导得 -2c/√(b²-4ac)，分母对 a 求导得 2，因此 x = -c/√(b²-4ac)，当 a=0 时 x = -c/b
推导: 通过配方法推导得出。
极限情形推导：
方法一（直接取极限）：当 a→0 时，ax²+bx+c=0 中 ax² 项可忽略，方程退化为 bx+c=0，直接得到 x = -c/b。
方法二（洛必达法则）：对 x = (-b+√(b²-4ac))/(2a) 在 a→0 时应用洛必达法则，d/da[√(b²-4ac)] = -2c/√(b²-4ac)，d/da[2a] = 2，因此 x = -c/√(b²-4ac)，当 a=0 时 x = -c/b。
方法三（泰勒展开）：√(b²-4ac) = b√(1-4ac/b²) = b(1-2ac/b²+O(a²))，代入得 x = -c/b。
三种方法结果一致
标签: 常用公式, 必背公式
等比数列求和公式
公式:
\[S = a_1\frac{1-q^n}{1-q}\]变量说明:
- S: 前n项和
- a₁: 首项
- q: 公比
- n: 项数
适用条件: q ≠ 1
备注: 等比数列前n项和公式。极限情形：当 q→1 时，由洛必达法则可得 S = a₁n·q^(n-1)，代入 q=1 得极限 S = a₁n（此时数列退化为等差数列，S = na₁）
推导: 等比数列求和：S = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^(n-1) = a₁(1-qⁿ)/(1-q)。极限情形推导：当 q→1 时，对 S = a₁(1-qⁿ)/(1-q) 应用洛必达法则，分子对 q 求导得 a₁(-n·q^(n-1))，分母对 q 求导得 -1，因此 S = a₁n·q^(n-1)，当 q=1 时 S = a₁n
标签: 常用公式, 必背公式
几何
球体积
公式:
\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- r: 半径 (单位: 长度单位)
适用条件: r > 0
备注: 球体积等于三分之四乘以π乘以半径的立方
推导: 通过积分推导
标签: 常用公式, 必背公式
球表面积
公式:
\[S = 4\pi r^2\]变量说明:
- S: 表面积 (单位: 面积单位)
- r: 半径 (单位: 长度单位)
适用条件: r > 0
备注: 球表面积等于4π乘以半径的平方
推导: 通过积分推导
标签: 常用公式, 必背公式
椭圆面积
公式:
\[S = \pi ab\]变量说明:
- S: 椭圆面积 (单位: 面积单位)
- a: 椭圆长半轴 (单位: 长度单位)
- b: 椭圆短半轴 (单位: 长度单位)
- π: 圆周率 (单位: 约等于3.14159)
适用条件: a > 0, b > 0
备注: 椭圆面积公式，当 a = b 时，椭圆退化为圆，面积公式变为 S = πr²
推导: 通过参数方程和积分推导：x = a cos t, y = b sin t，S = 4∫₀^(π/2) y dx = 4∫₀^(π/2) b sin t · (-a sin t) dt = 4ab∫₀^(π/2) sin²t dt = πab
标签: 常用公式, 必背公式
函数
指数函数
公式:
\[y = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)\]变量说明:
- a: 底数
- x: 指数
- y: 函数值
适用条件: a > 0 且 a ≠ 1
备注: 当 a > 1 时，函数单调递增；当 0 < a < 1 时，函数单调递减
推导: 指数函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
对数函数
公式:
\[y = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1, x > 0)\]变量说明:
- a: 底数
- x: 真数
- y: 函数值
适用条件: a > 0 且 a ≠ 1, x > 0
备注: 对数函数是指数函数的反函数
推导: 对数函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
对数运算法则
公式:
\[\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N, \quad \log_a(M/N) = \log_a M - \log_a N, \quad \log_a M^n = n\log_a M\]变量说明:
- a: 底数
- M, N: 真数
- n: 指数
适用条件: a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0
备注: 对数的乘法、除法和幂运算法则
推导: 由对数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
换底公式
公式:
\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]变量说明:
- a, b: 底数和真数
- c: 新底数
适用条件: a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1
备注: 可以将任意底数的对数转换为以其他数为底的对数
推导: 由对数定义推导
标签: 常用公式, 必背公式
幂函数
公式:
\[y = x^n\]变量说明:
- x: 底数
- n: 指数
- y: 函数值
备注: 当 n > 0 时，函数过原点且单调递增；当 n < 0 时，函数在第一象限单调递减
推导: 幂函数定义
标签: 常用公式, 必背公式
立体几何
棱柱体积
公式:
\[V = Sh\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- S: 底面积 (单位: 面积单位)
- h: 高 (单位: 长度单位)
适用条件: S > 0, h > 0
备注: 棱柱体积等于底面积乘以高
推导: 体积定义
标签: 常用公式, 必背公式
棱锥体积
公式:
\[V = \frac{1}{3}Sh\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- S: 底面积 (单位: 面积单位)
- h: 高 (单位: 长度单位)
适用条件: S > 0, h > 0
备注: 棱锥体积等于同底等高的棱柱体积的三分之一
推导: 通过积分或实验验证
标签: 常用公式, 必背公式
正四面体体积
公式:
\[V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- a: 棱长 (单位: 长度单位)
适用条件: a > 0
备注: 正四面体（所有棱长相等）的体积公式
推导: 由棱锥体积公式和正四面体性质推导
标签: 常用公式
正六面体（正方体）体积
公式:
\[V = a^3\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- a: 棱长 (单位: 长度单位)
适用条件: a > 0
备注: 正方体体积等于棱长的立方
推导: 由棱柱体积公式推导
标签: 常用公式, 必背公式
正八面体体积
公式:
\[V = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- a: 棱长 (单位: 长度单位)
适用条件: a > 0
备注: 正八面体的体积公式
推导: 由两个正四棱锥组合推导
标签: 常用公式
圆台体积
公式:
\[V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- h: 高 (单位: 长度单位)
- r₁: 上底半径 (单位: 长度单位)
- r₂: 下底半径 (单位: 长度单位)
适用条件: h > 0, r₁ > 0, r₂ > 0
备注: 圆台体积公式，当 r₁ = r₂ 时，即为圆柱体积
推导: 由圆锥体积公式推导
标签: 常用公式, 必背公式
圆台侧面积
公式:
\[S = \pi l(r_1 + r_2)\]变量说明:
- S: 侧面积 (单位: 面积单位)
- l: 母线长 (单位: 长度单位)
- r₁: 上底半径 (单位: 长度单位)
- r₂: 下底半径 (单位: 长度单位)
适用条件: l > 0, r₁ > 0, r₂ > 0
备注: 圆台侧面积等于π乘以母线长乘以两底半径之和
推导: 由圆台展开图推导
标签: 常用公式, 必背公式
球冠体积
公式:
\[V = \frac{1}{3}\pi h^2(3r - h)\]变量说明:
- V: 体积 (单位: 体积单位)
- h: 球冠高 (单位: 长度单位)
- r: 球半径 (单位: 长度单位)
适用条件: 0 < h ≤ 2r
备注: 球冠（球被平面截去一部分）的体积公式
推导: 通过积分推导
标签: 常用公式
球冠面积
公式:
\[S = 2\pi rh\]变量说明:
- S: 面积 (单位: 面积单位)
- r: 球半径 (单位: 长度单位)
- h: 球冠高 (单位: 长度单位)
适用条件: 0 < h ≤ 2r
备注: 球冠的表面积公式
推导: 通过积分推导
标签: 常用公式